Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Beton und 150 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 17 °C und -15 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 17 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Gipskarton und 150 mm Mineralwolle trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit 1 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 15 auf 120 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 2000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 130 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 120 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 2 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 150 °C ein, der kalte mit 15 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 2 m² und U = 500 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 150 °CTc,in = 15 °CA = 2 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 671 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,04769 = 671 W
Antwort
Q̇ = 671 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 21,42 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·8) = 0,4688 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,5621 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (1))/0,5621 = 37,36 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 37,36·0,01563 = 21,42 °C
Antwort
Ts = 21,42 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 5,105 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 1·4,18·(120 − 15) = 438,9 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 130 − 15 = 115 K
ΔT₂ = 130 − 120 = 10 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 10)/ln(115/10) = 42,99 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 438900/(2000·42,99) = 5,105 m²
Antwort
A = 5,105 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Th,out = 105 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Konstante Temperaturdifferenz
Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung
2·(150 − Th,out) = 1·(Th,out − 15)
Th,out = (2·150 + 1·15)/(2 + 1) = 105 °C
Antwort
Th,out = 105 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 90 kW; der kalte Strom tritt mit 60 °C aus.
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