Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Beton, k = 1,4200 mmGlas, k = 0,9650 mm23 °C-12 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 200 mm Beton und 50 mm Glas, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 23 °C und -12 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 23 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Gipskarton, k = 0,1750 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,035100 mmRaum 20 °Caußen -1 °CQ̇

Eine Wand aus 50 mm Gipskarton und 100 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -1 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT105 °C40 °C20 °C35 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 500 kW. Das heiße Fluid kühlt von 105 auf 40 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 35 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 500 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 105 → 40 °CTc: 20 → 35 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT120 °C30 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 3000 W/(m²·K). Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 30 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 120 °CA = 2 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 1436 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·8) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/0,02437 = 1436 W

Antwort

Q̇ = 1436 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,3015 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,2211 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,2211) = 0,3015 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,3015 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 17,71 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 40 − 35 = 5 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 5)/ln(85/5) = 28,24 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 500000/(1000·28,24) = 17,71 m²

Antwort

A = 17,71 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Tc,out = 98,58 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·2/(1·4180) = 1,435

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,435 = 90·0,238 = 21,42 K
Tc,out = 120 − 21,42 = 98,58 °C

Antwort

Tc,out = 98,58 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 286,7 kW.

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