Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 100 mm Mineralwolle und 150 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 17 °C und -14 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 17 °CT3 = -14 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Holz und 100 mm Ziegel trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -8 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 4 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 130 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 15 auf 105 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 130 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 105 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,8 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 95 auf 50 °C ab. Wasser (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 20 °C ein. Das Innenrohr hat 32 mm Durchmesser, und U = 200 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 95 → 50 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 110 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·12) = 0,2083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,2819 = 110 W
Antwort
Q̇ = 110 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,5506 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·4) = 0,03472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,454 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,454) = 0,5506 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,5506 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 9,568 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 1,5·4,18·(105 − 15) = 564,3 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 130 − 15 = 115 K
ΔT₂ = 130 − 105 = 25 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 25)/ln(115/25) = 58,98 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 564300/(1000·58,98) = 9,568 m²
Antwort
A = 9,568 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 104,9 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,8·2,3·(95 − 50) = 82,8 kW
Tc,out = 20 + 82,8/(0,8·4,18) = 44,76 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 44,76 = 50,24 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50,24 − 30)/ln(50,24/30) = 39,25 K
Fläche und Länge
A = 82800/(200·39,25) = 10,55 m²
L = A/(πD) = 10,55/(π·0,032) = 104,9 m
Antwort
L = 104,9 m
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