Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 150 mm Glas und 100 mm expandiertes Polystyrol, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 21 °C und -7 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm Glas und 25 mm Beton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -3 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 20 auf 35 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 2500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 105 °Cṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 35 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 115 auf 40 °C ab. Es erwärmt 2 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 20 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 40 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 92,92 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·10) = 0,01563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·10) = 0,2857 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,3013 = 92,92 W
Antwort
Q̇ = 92,92 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 1204 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·15) = 0,00119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,01911 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (-3))/0,01911 = 1204 W
Antwort
Q̇ = 1204 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 0,9739 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 3·4,18·(35 − 20) = 188,1 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 35 = 70 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 70)/ln(85/70) = 77,26 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 188100/(2500·77,26) = 0,9739 m²
Antwort
A = 0,9739 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 22,98 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·75 = 187,5 kW
Tc,out = 20 + 187,5/(2·4,18) = 42,43 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 42,43 = 72,57 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 20 = 20 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (72,57 − 20)/ln(72,57/20) = 40,79 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 187500/(200·40,79) = 22,98 m²
Antwort
A = 22,98 m²
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