Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035250 mmBeton, k = 1,425 mm19 °C10 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 250 mm expandiertes Polystyrol und 25 mm Beton, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 19 °C und 10 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 19 °CT3 = 10 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Expandiertes Polystyrol, k = 0,03550 mmGlas, k = 0,9650 mmRaum 21 °Caußen -6 °CQ̇ = ?

Eine Wand aus 50 mm expandiertes Polystyrol und 50 mm Glas trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -6 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT85 °C55 °C20 °C40 °CΔT₁ΔT₂Gleichstrom

Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 120 kW. Das heiße Fluid kühlt von 85 auf 55 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 40 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 120 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 85 → 55 °CTc: 20 → 40 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 5 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2000 W/(m²·K). Kühlwasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 10 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 105 °CA = 5 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 10,02 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·10) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·10) = 0,001786 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/0,7161 = 12,57 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 12,57·0,7143 = 10,02 °C

Antwort

Ti = 10,02 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 95,44 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,2829 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (-6))/0,2829 = 95,44 W

Antwort

Q̇ = 95,44 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 7,038 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 85 − 20 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 40 = 15 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 15)/ln(65/15) = 34,1 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(500·34,1) = 7,038 m²

Antwort

A = 7,038 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Tc,out = 85,72 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·5/(1,5·4180) = 1,595

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,595 = 95·0,2029 = 19,28 K
Tc,out = 105 − 19,28 = 85,72 °C

Antwort

Tc,out = 85,72 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 474,8 kW.

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