Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Ziegel, k = 0,72200 mmGlas, k = 0,96100 mm16 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 200 mm Ziegel und 100 mm Glas, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 16 °C und -4 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 16 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Ziegel, k = 0,72250 mmGlas, k = 0,96100 mmRaum 21 °Caußen 5 °CTs​ = ?Q̇

Eine Wand aus 250 mm Ziegel und 100 mm Glas trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit 5 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT135 °C115 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 130 kW. Das heiße Fluid kühlt von 135 auf 115 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 15 auf 100 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 130 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 135 → 115 °CTc: 15 → 100 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT110 °C??20 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 110 °C ein, der kalte mit 20 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 4 m² und U = 800 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur Th,out des heißen Stroms.

Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 110 °CTc,in = 20 °CA = 4 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = 1,455 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·20) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·20) = 0,005208 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,0191 = 1047 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 1047·0,01389 = 1,455 °C

Antwort

Ti = 1,455 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Ts = 17,81 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·6) = 0,05787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·6) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,1044 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (5))/0,1044 = 153,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 153,3·0,02083 = 17,81 °C

Antwort

Ts = 17,81 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 4,199 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 100 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 15 = 100 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 100)/ln(35/100) = 61,92 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(500·61,92) = 4,199 m²

Antwort

A = 4,199 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Th,out = 48,72 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), also ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

1,5·(110 − Th,out) = 3,2·(Th,out − 20)
Th,out = (1,5·110 + 3,2·20)/(1,5 + 3,2) = 48,72 °C

Antwort

Th,out = 48,72 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 91,91 kW; der kalte Strom tritt mit 81,28 °C aus.

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