Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Gipskarton und 25 mm Holz, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 23 °C und -12 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 100 mm Beton und 100 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -7 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 480 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 8 m². Das heiße Fluid kühlt von 110 auf 55 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 20 auf 95 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 480 kWA = 8 m²Th: 110 → 55 °CTc: 20 → 95 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 135 auf 55 °C ab. Es erwärmt 3 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 1000 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 135 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 158,7 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·6) = 0,1961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·6) = 0,02451 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/0,2206 = 158,7 W
Antwort
Q̇ = 158,7 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 138,3 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·15) = 0,004762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,2097 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (22 − (-7))/0,2097 = 138,3 W
Antwort
Q̇ = 138,3 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 2542 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 95 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 35)/ln(15/35) = 23,6 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 480000/(8·23,6) = 2542 W/(m²·K)
Antwort
U = 2542 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 2,985 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·80 = 200 kW
Tc,out = 15 + 200/(3·4,18) = 30,95 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 30,95 = 104,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (104,1 − 40)/ln(104,1/40) = 67 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 200000/(1000·67) = 2,985 m²
Antwort
A = 2,985 m²
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