Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Mineralwolle, k = 0,04100 mmZiegel, k = 0,7225 mm22 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

Eine Wand besteht aus 100 mm Mineralwolle und 25 mm Ziegel, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 22 °C und -12 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 22 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Glas, k = 0,9650 mmGipskarton, k = 0,17150 mmRaum 21 °Caußen -7 °CQ̇ = ?

Eine Wand aus 50 mm Glas und 150 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -7 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmeverlust Q̇ durch die Wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT110 °C30 °C50 °CΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 110 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 30 auf 50 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 3500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Ts = 110 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 50 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT95 °C55 °C27,94 °C10 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Heißes Öl (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 95 auf 55 °C ab. Es erwärmt 2 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 10 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 55 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Ti = −11,53 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,2535 = 134,1 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 134,1·0,25 = −11,53 °C

Antwort

Ti = −11,53 °C
2.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 370,2 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,07563 K/W

Wärmeverlust

Q̇ = (21 − (-7))/0,07563 = 370,2 W

Antwort

Q̇ = 370,2 W
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 0,5154 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung aus der Wasserseite

Q̇ = 1,5·4,18·(50 − 30) = 125,4 kW

Temperaturdifferenzen an den Enden

ΔT₁ = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = 110 − 50 = 60 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 60)/ln(80/60) = 69,52 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125400/(3500·69,52) = 0,5154 m²

Antwort

A = 0,5154 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 13,56 m²

LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.

Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·40 = 150 kW
Tc,out = 10 + 150/(2·4,18) = 27,94 °C

Temperaturdifferenzen an den Enden

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 27,94 = 67,06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 10 = 45 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (67,06 − 45)/ln(67,06/45) = 55,3 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(200·55,3) = 13,56 m²

Antwort

A = 13,56 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer