Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Ziegel und 100 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 10 m². Die Außenflächen haben 23 °C und -13 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 23 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 250 mm Ziegel und 25 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 21 °C von der Außenluft mit -4 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 10 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 6 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager überträgt 190 kW. Seine Wärmeübertragungsfläche beträgt 2 m². Das heiße Fluid kühlt von 100 auf 60 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 45 °C. Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U.
Q̇ = 190 kWA = 2 m²Th: 100 → 60 °CTc: 30 → 45 °C
U = W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
In einem Doppelrohr-Wärmeübertrager im Gegenstrom strömt heißes Öl (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) im Innenrohr und kühlt von 95 auf 55 °C ab. Wasser (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt im Ringspalt mit 20 °C ein. Das Innenrohr hat 50 mm Durchmesser, und U = 200 W/(m²·K) ist auf diesen Durchmesser bezogen. Bestimme die nötige Rohrlänge L.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 95 → 55 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 20 °CD = 50 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 547,4 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 36/0,06577 = 547,4 W
Antwort
Q̇ = 547,4 W
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 17,12 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·6) = 0,05787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·6) = 0,02451 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,1074 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (21 − (-4))/0,1074 = 232,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 232,8·0,01667 = 17,12 °C
Antwort
Ts = 17,12 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: U = 2303 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 45 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 30)/ln(55/30) = 41,24 K
Wärmedurchgangskoeffizient
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 190000/(2·41,24) = 2303 W/(m²·K)
Antwort
U = 2303 W/(m²·K)
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: L = 54,66 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = 0,5·2,3·(95 − 55) = 46 kW
Tc,out = 20 + 46/(0,2·4,18) = 75,02 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 75,02 = 19,98 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (19,98 − 35)/ln(19,98/35) = 26,79 K
Fläche und Länge
A = 46000/(200·26,79) = 8,585 m²
L = A/(πD) = 8,585/(π·0,05) = 54,66 m
Antwort
L = 54,66 m
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