Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz: Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand: R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand: R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-Wert: U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung: Q = U·A·ΔT_lm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Bilanz eines Stroms: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel

Eine Wand besteht aus 150 mm Beton und 50 mm Ziegel, mit einer Fläche von 6 m². Die Außenflächen haben 15 °C und -8 °C. Bestimme die Temperatur T_i an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.

L₁ = 150 mm, k₁ = 1,4 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T₁ = 15 °CT₃ = -8 °C

T_i = °C

2.WärmeleitungSchwer

Eine Wand aus 250 mm Ziegel und 150 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 22 °C von der Außenluft mit -14 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 30 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 10 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L₁ = 250 mm, k₁ = 0,72 W/(m·K)L₂ = 150 mm, k₂ = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²h_i = 8 W/(m²·K)h_o = 30 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -14 °C

U = W/(m²·K)

3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel

In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 110 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (3 kg/s, c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 20 auf 90 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1000 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

T_s = 110 °Cṁ = 3 kg/sc_p = 4,18 kJ/(kg·K)T_c: 20 → 90 °CU = 1000 W/(m²·K)

A = m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer

In einem Gegenstrom-Wärmeübertrager haben beide Ströme denselben Wärmekapazitätsstrom, ṁ·c_p = 1 kW/K. Der heiße Strom tritt mit 125 °C ein, der kalte mit 30 °C. Der Wärmeübertrager hat A = 5 m² und U = 300 W/(m²·K). Bestimme die Austrittstemperatur T_h,out des heißen Stroms.

C_h = C_c = 1 kW/KT_h,in = 125 °CT_c,in = 30 °CA = 5 m²U = 300 W/(m²·K)

T_h,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: T_i = 1,045 °C

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 23/0,02943 = 781,5 W

Temperatur an der Grenzfläche

Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 15 − 781,5·0,01786 = 1,045 °C

Antwort

T_i = 1,045 °C

2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,7205 W/(m²·K)

Widerstände in Reihe

R_i = 1/(h_iA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(0,72·10) = 0,03472 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W

ΣR = 0,1388 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,1388) = 0,7205 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,7205 W/(m²·K)

3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 18,86 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Wärmeleistung aus der Wasserseite

Q̇ = 3·4,18·(90 − 20) = 877,8 kW

Temperaturdifferenzen an den Enden

ΔT₁ = 110 − 20 = 90 K

ΔT₂ = 110 − 90 = 20 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 20)/ln(90/20) = 46,54 K

Fläche

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 877800/(1000·46,54) = 18,86 m²

Antwort

A = 18,86 m²

4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: T_h,out = 68 °C

Konstante Temperaturdifferenz

Der kalte Austritt liegt dem heißen Eintritt gegenüber: T_c,out = T_c,in + (T_h,in − T_h,out), also ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = T_h,out − T_c,in = ΔT₂.

ΔT_lm = T_h,out − T_c,in

Energiebilanz gleich Wärmeübertragungsgleichung

1·(125 − T_h,out) = 1,5·(T_h,out − 30)

T_h,out = (1·125 + 1,5·30)/(1 + 1,5) = 68 °C

Antwort

T_h,out = 68 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 57 kW; der kalte Strom tritt mit 87 °C aus.

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