Wärmeübertragung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wärmeleitung

Fouriersches Gesetz
Q̇ = kAΔT/L
Wärmeleitwiderstand
R = L/(kA)
Wärmeübergangswiderstand
R = 1/(hA)
Widerstände in Reihe
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-Wert
U = 1/(ΣR·A)

Wärmeübertrager (LMTD)

Wärmeleistung
Q = U·A·ΔTlm
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilanz eines Stroms
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Übungsaufgaben

1.WärmeleitungMittel
Expandiertes Polystyrol, k = 0,035150 mmZiegel, k = 0,72100 mm24 °C-5 °CQ̇ = ?

Eine Wand besteht aus 150 mm expandiertes Polystyrol und 100 mm Ziegel, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 24 °C und -5 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Mineralwolle, k = 0,04100 mmExpandiertes Polystyrol, k = 0,03525 mmRaum 20 °Caußen -4 °CQ̇

Eine Wand aus 100 mm Mineralwolle und 25 mm expandiertes Polystyrol trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -4 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 4 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
LängeT130 °C85 °C90 °C30 °CΔT₁ΔT₂Gegenstrom

Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager (ein Mantelgang, zwei Rohrgänge) soll 410 kW übertragen. Das heiße Fluid kühlt von 130 auf 85 °C ab, das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 90 °C. Der LMTD-Korrekturfaktor für diese Anordnung ist F = 0,85, und U = 200 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.

Q̇ = 410 kWF = 0,85U = 200 W/(m²·K)Th: 130 → 85 °CTc: 30 → 90 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
LängeT120 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂kondensierender Dampf

Dampf kondensiert bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 2 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 1500 W/(m²·K). Kühlwasser (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 10 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.

Ts = 120 °CA = 2 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Lösungen

1.Wärmeleitung

Antwort: Q̇ = 52,43 W

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Schichtwiderstände

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·8) = 0,5357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·8) = 0,01736 K/W

Wärmestrom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,5531 = 52,43 W

Antwort

Q̇ = 52,43 W
2.Wärmeleitung

Antwort: U = 0,2923 W/(m²·K)

Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.

Widerstände in Reihe

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·4) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·4) = 0,1786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,8552 K/W

Wärmedurchgangskoeffizient

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,8552) = 0,2923 W/(m²·K)

Antwort

U = 0,2923 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: A = 51,2 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperaturdifferenzen an den Enden (Gegenstrom)

Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 90 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K

Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 55)/ln(40/55) = 47,1 K

Fläche

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 410000/(200·0,85·47,1) = 51,2 m²

Antwort

A = 51,2 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)

Antwort: Tc,out = 93,82 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren

Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·2/(0,5·4180) = 1,435

Austrittstemperatur

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,435 = 110·0,238 = 26,18 K
Tc,out = 120 − 26,18 = 93,82 °C

Antwort

Tc,out = 93,82 °C

Übertragene Wärme: Q̇ = 175,2 kW.

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