Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 250 mm Ziegel und 100 mm Beton, mit einer Fläche von 20 m². Die Außenflächen haben 22 °C und 4 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 22 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 50 mm expandiertes Polystyrol und 75 mm Holz trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -15 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 15 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
In einem Kondensator kondensiert Dampf bei konstant 120 °C an der Außenseite der Rohre. Kühlwasser (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) strömt durch die Rohre und erwärmt sich von 30 auf 105 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 1500 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Ts = 120 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 105 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Dampf kondensiert bei konstant 105 °C an der Außenseite der Rohre eines Kondensators mit 3 m² Wärmeübertragungsfläche und U = 2500 W/(m²·K). Kühlwasser (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) tritt mit 15 °C in die Rohre ein. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers Tc,out.
Ts = 105 °CA = 3 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Q̇ = 859,9 W
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·20) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,02093 = 859,9 W
Antwort
Q̇ = 859,9 W
2.Wärmeleitung
Antwort: U = 0,4915 W/(m²·K)
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·15) = 0,09524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,1356 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,1356) = 0,4915 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,4915 W/(m²·K)
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 4,993 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Wärmeleistung aus der Wasserseite
Q̇ = 1·4,18·(105 − 30) = 313,5 kW
Temperaturdifferenzen an den Enden
ΔT₁ = 120 − 30 = 90 K
ΔT₂ = 120 − 105 = 15 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 15)/ln(90/15) = 41,86 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 313500/(1500·41,86) = 4,993 m²
Antwort
A = 4,993 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: Tc,out = 77,79 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Energiebilanz und Wärmeübertragungsgleichung kombinieren
Mit ΔT₁ = Ts − Tc,in und ΔT₂ = Ts − Tc,out ist die Differenz ΔT₁ − ΔT₂ gleich dem Temperaturanstieg des Wassers, der Anstieg kürzt sich also heraus.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·3/(1,5·4180) = 1,196
Austrittstemperatur
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,196 = 90·0,3023 = 27,21 K
Tc,out = 105 − 27,21 = 77,79 °C
Antwort
Tc,out = 77,79 °C
Übertragene Wärme: Q̇ = 393,7 kW.
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