Wärmeleitung
- Fouriersches Gesetz
- Q̇ = kAΔT/L
- Wärmeleitwiderstand
- R = L/(kA)
- Wärmeübergangswiderstand
- R = 1/(hA)
- Widerstände in Reihe
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-Wert
- U = 1/(ΣR·A)
Wärmeübertragung: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 4 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wärmeübertrager (LMTD)
- Wärmeleistung
- Q = U·A·ΔTlm
- Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilanz eines Stroms
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Übungsaufgaben
1.WärmeleitungMittel
Eine Wand besteht aus 200 mm Glas und 100 mm Gipskarton, mit einer Fläche von 8 m². Die Außenflächen haben 24 °C und -13 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = -13 °C
Ti = °C
2.WärmeleitungSchwer
Eine Wand aus 150 mm Glas und 50 mm Holz trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit 2 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 8 W/(m²·K) und außen 25 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme die Temperatur Ts der Innenoberfläche der Wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)Mittel
Ein Gleichstrom-Wärmeübertrager überträgt 250 kW. Das heiße Fluid kühlt von 95 auf 60 °C ab, und das kalte Fluid erwärmt sich von 30 auf 55 °C. Der Wärmedurchgangskoeffizient beträgt 800 W/(m²·K). Bestimme die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
Q̇ = 250 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 95 → 60 °CTc: 30 → 55 °C
A = m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)Schwer
Heißes Öl (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) kühlt in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager von 135 auf 100 °C ab. Es erwärmt 0,5 kg/s Wasser (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), das mit 15 °C eintritt. Bestimme mit U = 200 W/(m²·K) die nötige Wärmeübertragungsfläche A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 100 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Lösungen
1.Wärmeleitung
Antwort: Ti = 14,32 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 37/0,09957 = 371,6 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 371,6·0,02604 = 14,32 °C
Antwort
Ti = 14,32 °C
2.Wärmeleitung
Antwort: Ts = 16,34 °C
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·8) = 0,01953 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,07692 K/W
Wärmeverlust
Q̇ = (20 − (2))/0,07692 = 234 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 234·0,01563 = 16,34 °C
Antwort
Ts = 16,34 °C
3.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 13,36 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gleichstrom liegen beide Eintritte am selben Ende und beide Austritte am anderen.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 95 − 30 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 55 = 5 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 5)/ln(65/5) = 23,39 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(800·23,39) = 13,36 m²
Antwort
A = 13,36 m²
4.Wärmeübertrager (LMTD)
Antwort: A = 13,07 m²
LMTD-Methode: Die Temperaturdifferenz zwischen den Strömen ändert sich entlang des Wärmeübertragers, daher verwendet die Gleichung ihren logarithmischen Mittelwert: Q̇ = U·A·ΔTlm, mit ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), wobei ΔT₁ und ΔT₂ die Differenzen an den beiden Enden sind. Gegenstrom ergibt bei gleichen Ein- und Austrittstemperaturen ein größeres ΔTlm als Gleichstrom.
Wärmeleistung und Austrittstemperatur des Wassers
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·35 = 161 kW
Tc,out = 15 + 161/(0,5·4,18) = 92,03 °C
Temperaturdifferenzen an den Enden
Im Gegenstrom liegt der heiße Eintritt dem kalten Austritt gegenüber und der heiße Austritt dem kalten Eintritt.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 92,03 = 42,97 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 15 = 85 K
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (42,97 − 85)/ln(42,97/85) = 61,61 K
Fläche
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 161000/(200·61,61) = 13,07 m²
Antwort
A = 13,07 m²
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