Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Kreditkarte berechnet einen nominalen Zinssatz von 17,5 % pro Jahr bei halbjährlicher Verzinsung. Bestimme den effektiven Jahreszins EAR in Prozent.

r = 17,5%m = 2

EAR = %

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du zahlst 26 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €3 000 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 7 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 26 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €3 000i = 7%n = 26

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 9 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 7% für €674 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 9P = €674YTM = 7%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 5YTM = 5%

D = Jahre

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 0,5. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.

D/E = 0,5r_e = 14%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1,2. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 2% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1T = 25%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €400 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €26 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 2 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €26 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €11 500, €8 000, €4 500. Projekt B kostet €30 000 und bringt €8 500, €11 500, €17 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −30 000, 8 500, 11 500, 17 000

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: EAR = 18,27 %

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz pro Periode

r/m = 0,175/2 = 0,0875

Über ein Jahr aufzinsen

EAR = (1 + 0,0875)² − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%

Antwort

EAR = 18,27%

Der effektive Jahreszins liegt immer über dem Nominalzins, wenn die Zinsen mehr als einmal im Jahr gutgeschrieben werden.

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 220451 €

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,07)²⁶ − 1)/0,07 = 68,68

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 3 000·68,68·1,07 = €220 451,47

Antwort

FV = €220 451,47

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 1,996 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,07)⁻⁹ = €543,93

Kupon

C = (674 − 543,93)/6,515 = €19,96

Kuponsatz

c = 19,96/1000 = 1,996%

Antwort

c = 1,996%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 4,415 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 70/1,05 = 66,67, t·PV = 66,67

t = 2: 70/1,103 = 63,49, t·PV = 126,98

t = 3: 70/1,158 = 60,47, t·PV = 181,41

t = 4: 70/1,216 = 57,59, t·PV = 230,36

t = 5: 1070/1,276 = 838,37, t·PV = 4 191,86

Duration

P = 1 086,59

D = 4 797,28/1 086,59 = 4,415

Antwort

D = 4,415 Jahre

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,21 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte aus D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·14% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,25) = 10,21%

Antwort

WACC = 10,21%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 12,96 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,2/(1 + 0,75·0,2) = 1,043

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,043·(1 + 0,75·1) = 1,826

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2% + 1,826·6% = 12,96%

Antwort

r_e = 12,96%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −75000 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Wert der Zahlungen

PV = 26 000/(0,1 − 0,02) = 325 000,00

NPV

NPV = 325 000,00 − 400 000 = −€75 000,00

Antwort

NPV = −€75 000,00

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 8,482 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 8 500 − 11 500 = −3 000

ΔCF₂ = 11 500 − 8 000 = 3 500

ΔCF₃ = 17 000 − 4 500 = 12 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(8%) = 145,81

NPV_Δ(9%) = −154,12

r* = 8,482%

Antwort

r* = 8,482%

Probe: Bei 8,482% betragen beide Kapitalwerte €923,72.

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