Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €8 000 zu einem Nominalzins von 5 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 3 Jahren.

PV = €8 0005% / 12n = 3

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 19 Jahre lang am Ende jedes Monats €500. Das Konto bringt 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €5003,6% / 12N = 228

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 2% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 2%YTM = 5,5%n = 10

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 16 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 9%) wird für €1 137 verkauft. Der Emittent kann sie in 5 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 090 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 9%P = €1 137Kündigungskurs = €1 090Kündigung in 5 Jahre

YTC = %

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,5 hat eine geforderte Rendite von 13,75%. Der risikolose Zinssatz beträgt 4%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,5r_e = 13,75%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 500 000 Aktien zu je €53,00 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3% und der Steuersatz 25,8%. Das Beta der Aktie ist 1,5, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 5,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,5r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €26 000, €24 000, €26 000. Die Kapitalkosten betragen 9 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 26 000CF₂ = 24 000CF₃ = 26 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €30 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €17 500, €10 500, €6 500. Projekt B kostet €35 000 und bringt €9 500, €14 000, €18 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −30 000, 17 500, 10 500, 6 500B: −35 000, 9 500, 14 000, 18 000

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 9292 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·3 = 36

Endwert

FV = 8 000·(1 + 0,004167)³⁶ = 8 000·1,161 = €9 291,78

Antwort

FV = €9 291,78

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 163293 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·19 = 228

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,98 − 1)/0,003 = €163 293,47

Antwort

FV = €163 293,47

Du hast selbst €114 000 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 733,5 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €10,00, i = 0,0275, N = 20

Barwert der Kupons

€10,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €152,27

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,5813 = €581,25

Kurs

P = €733,52

Antwort

P = €733,52

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 7,2 %

Gleichung für die Rendite

1137 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

y = 7%: €1 146,17

y = 8%: €1 101,18

YTC = 7,2%

Antwort

YTC = 7,2%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7,501%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 10,5 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (13,75% − 4%)/1,5 = 6,5%

Marktrendite

r_m = 4% + 6,5% = 10,5%

Antwort

r_m = 10,5%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,305 %

Marktwerte

E = 2 500 000·€53,00 = €132 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,5·4% = 7,5%

Gewichte

V = €137 600 000, E/V = 0,9629, D/V = 0,03706

WACC

WACC = 0,9629·7,5% + 0,03706·3%·(1 − 0,258) = 7,305%

Antwort

WACC = 7,305%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 4130 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 26 000/1,09 = 23 853,21

CF₂/(1 + 0,09)² = 24 000/1,188 = 20 200,32

CF₃/(1 + 0,09)³ = 26 000/1,295 = 20 076,77

Addieren

NPV = €4 130,30

Antwort

NPV = €4 130,30

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 6,872 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 9 500 − 17 500 = −8 000

ΔCF₂ = 14 000 − 10 500 = 3 500

ΔCF₃ = 18 000 − 6 500 = 11 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(6%) = 223,44

NPV_Δ(7%) = −32,17

r* = 6,872%

Antwort

r* = 6,872%

Probe: Bei 6,872% betragen beide Kapitalwerte €892,90.

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