Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €50 000 in 7 Jahren. Ein Konto bringt 3,6 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €50 0003,6% / 4n = 7

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €250 000 wird über 25 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 3,6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 18 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €250 0003,6% / 12N = 300k = 216

B = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 4 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 2,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 2,5%n = 4

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,5%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 5YTM = 5,5%

D = Jahre

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,6 hat eine geforderte Rendite von 10,7%. Der risikolose Zinssatz beträgt 3,5%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,6r_e = 10,7%r_f = 3,5%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,4 ein Beta von 1,5. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,25 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 28%, der risikolose Zinssatz 3,5% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,25T = 28%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €8 000, €8 000, €14 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 14 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €4 500, €6 000, €5 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 6 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 6 000CF₃ = 5 000

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 38906 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·7 = 28

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,285 = €38 906,07

Antwort

PV = €38 906,07

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 93805 €

Monatliche Rate

i = 0,003, N = 300

A = 250 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 265,01

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 300 − 216 = 84

B = 1265·(1 − (1 + 0,003)⁻⁸⁴)/0,003 = €93 805,31

Antwort

B = €93 805,31

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1019 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,0125, N = 8

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €113,52

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,9054 = €905,40

Kurs

P = €1 018,92

Antwort

P = €1 018,92

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 4,471 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 60/1,055 = 56,87, t·PV = 56,87

t = 2: 60/1,113 = 53,91, t·PV = 107,81

t = 3: 60/1,174 = 51,10, t·PV = 153,29

t = 4: 60/1,239 = 48,43, t·PV = 193,73

t = 5: 1060/1,307 = 811,04, t·PV = 4 055,21

Duration

P = 1 021,35

D = 4 566,92/1 021,35 = 4,471

Antwort

D = 4,471 Jahre

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 8 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (10,7% − 3,5%)/1,6 = 4,5%

Marktrendite

r_m = 3,5% + 4,5% = 8%

Antwort

r_m = 8%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 16,78 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,5/(1 + 0,72·0,4) = 1,165

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,165·(1 + 0,72·1,25) = 2,213

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 2,213·6% = 16,78%

Antwort

r_e = 16,78%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −3031 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 8 000/1,05 = 7 619,05

CF₂/(1 + 0,05)² = 8 000/1,103 = 7 256,24

CF₃/(1 + 0,05)³ = 14 000/1,158 = 12 093,73

Addieren

NPV = €−3 030,99

Antwort

NPV = €−3 030,99

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 17,97 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

4 500·1,06² = 5 056,20

6 000·1,06¹ = 6 360,00

5 000·1,06⁰ = 5 000,00

TV = 16 416,20

MIRR

MIRR = (16 416,20/10 000)^1/3 − 1 = 17,97%

Antwort

MIRR = 17,97%

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