Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €500, 19 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 8 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €500i = 8%n = 19

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du zahlst 23 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €5 000 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 4 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 23 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €5 000i = 4%n = 23

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 4% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 4%n = 10

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 8 Jahren fällig und kostet €870. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 8P = €870

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien mit einem Kurs von €29,50; der Buchwert seines Eigenkapitals beträgt €73 800 000. Es hat gerade eine Dividende von €1,50 pro Aktie gezahlt, und die Dividenden wachsen um 4% pro Jahr. Sein Fremdkapital hat einen Marktwert von €118 000 000 und Kosten vor Steuern von 5%. Der Steuersatz beträgt 21%. Bestimme den WACC, mit dem Dividendenwachstumsmodell für die Eigenkapitalkosten.

N = 5 000 000P₀ = €29,50Buchwert des Eigenkapitals = €73 800 000D₀ = €1,50g = 4%D = €118 000 000r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €30 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €6 000 und kann danach für €4 500 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €30 000CF = €6 000S = €4 500n = 5r = 6%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €10 500, €8 000, €4 500. Projekt B kostet €22 000 und bringt €5 500, €9 000, €11 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 10 500, 8 000, 4 500B: −22 000, 5 500, 9 000, 11 500

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 4802 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2317)/0,08 = 9,604

Barwert

PV = 500·9,604 = €4 801,80

Antwort

PV = €4 801,80

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 190413 €

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,04)²³ − 1)/0,04 = 36,62

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 5 000·36,62·1,04 = €190 413,02

Antwort

FV = €190 413,02

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 918,2 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,02, N = 20

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,673)/0,02 = €245,27

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,673 = €672,97

Kurs

P = €918,24

Antwort

P = €918,24

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,012 %

Gleichung für die Rendite

€870 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Numerisch lösen

P(5%) = €870,74, P(6%) = €813,71

YTM = 5,012%

Antwort

YTM = 5,012%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 11,41 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·14% + 0,2308·3,5%·(1 − 0,21) = 11,41%

Antwort

WACC = 11,41%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,916 %

Eigenkapitalkosten

D₁ = 1,5·1,04 = €1,56

r_e = 1,56/29,5 + 0,04 = 9,288%

Marktwerte

E = 5 000 000·€29,50 = €147 500 000

V = €265 500 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·9,288% + 0,4444·5%·(1 − 0,21) = 6,916%

Antwort

WACC = 6,916%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −1363 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

6 000·4,212 = 25 274,18

Barwert des Restwerts

4 500/1,338 = 3 362,66

NPV

NPV = −30 000 + 25 274,18 + 3 362,66 = −€1 363,16

Antwort

NPV = −€1 363,16

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 6,366 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 5 500 − 10 500 = −5 000

ΔCF₂ = 9 000 − 8 000 = 1 000

ΔCF₃ = 11 500 − 4 500 = 7 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(6%) = 50,35

NPV_Δ(7%) = −85,37

r* = 6,366%

Antwort

r* = 6,366%

Probe: Bei 6,366% betragen beide Kapitalwerte €682,04.

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