Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €40 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €40 0006% / 12n = 3

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €200 000 wird über 20 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 5,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 11 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €200 0005,4% / 12N = 240k = 132

B = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% und wird in 11 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 4% auf 3%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 11y₁ = 4%y₂ = 3%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% und wird in 6 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%n = 6YTM = 5%

D = Jahre

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €12 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 30%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €17,50 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €960. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3% und der Steuersatz 30%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 3,5% und die Marktrendite 8%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 3,5%r_m = 8%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €30 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 6 jeweils €7 500, €9 000, €9 500, €10 500, €12 000, €7 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 500CF₂ = 9 000CF₃ = 9 500CF₄ = 10 500CF₅ = 12 000CF₆ = 7 000

DPB = Jahre

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €11 000, €11 000, €11 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 11 000CF₃ = 11 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 33426 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·3 = 36

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,197 = €33 425,80

Antwort

PV = €33 425,80

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 116513 €

Monatliche Rate

i = 0,0045, N = 240

A = 200 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰) = €1 364,50

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 240 − 132 = 108

B = 1365·(1 − (1 + 0,0045)⁻¹⁰⁸)/0,0045 = €116 512,58

Antwort

B = €116 512,58

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 102,4 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €60,00, i = 0,04, N = 11

€60,00·(1 − 0,6496)/0,04 + €1 000·0,6496 = €525,63 + €649,58 = €1 175,21

Kurs bei der neuen Rendite

C = €60,00, i = 0,03, N = 11

€60,00·(1 − 0,7224)/0,03 + €1 000·0,7224 = €555,16 + €722,42 = €1 277,58

Änderung

ΔP = 1 277,58 − 1 175,21 = €102,37

Antwort

ΔP = €102,37

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 5,381 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 45/1,05 = 42,86, t·PV = 42,86

t = 2: 45/1,103 = 40,82, t·PV = 81,63

t = 3: 45/1,158 = 38,87, t·PV = 116,62

t = 4: 45/1,216 = 37,02, t·PV = 148,09

t = 5: 45/1,276 = 35,26, t·PV = 176,29

t = 6: 1045/1,34 = 779,80, t·PV = 4 678,77

Duration

P = 974,62

D = 5 244,26/974,62 = 5,381

Antwort

D = 5,381 Jahre

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,882 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,7059·10% + 0,2941·4%·(1 − 0,3) = 7,882%

Antwort

WACC = 7,882%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,84 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€17,50 = €87 500 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,8·4,5% = 7,1%

Gewichte

V = €92 300 000, E/V = 0,948, D/V = 0,052

WACC

WACC = 0,948·7,1% + 0,052·3%·(1 − 0,3) = 6,84%

Antwort

WACC = 6,84%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: DPB = 3,751 Jahre

Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.

Abgezinste und kumulierte Zahlungen

Jahr 1: 7 500/1,05 = 7 142,86 → Σ = 7 142,86

Jahr 2: 9 000/1,103 = 8 163,27 → Σ = 15 306,12

Jahr 3: 9 500/1,158 = 8 206,46 → Σ = 23 512,58

Jahr 4: 10 500/1,216 = 8 638,38 → Σ = 32 150,96

Bruchteil des letzten Jahres

DPB = 3 + 6 487,42/8 638,38 = 3,751

Antwort

DPB = 3,751 Jahre

Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (3,381 Jahre).

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 30,72 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(30%) = 204,82

NPV(35%) = −1 142,10

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 30 + 5·204,82/(204,82 − (−1 142,10)) = 30,76%

exakt: NPV(30,72%) = 0 → IRR = 30,72%

Antwort

IRR = 30,72%

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