Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €20 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 2,5 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 7,5 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.

C₁ = €20 000g = 2,5%r = 7,5%

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 5 Jahre lang am Ende jedes Monats €250. Das Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €2506% / 12N = 60

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 7 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 5%YTM = 3%n = 7

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 8 Jahren fällig und kostet €1 110. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 8P = €1 110

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Sein WACC beträgt 9,69%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 9,69%r_d = 6%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,75 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 30%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 4,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €9 000, €9 000, €6 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 6 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €10 000, €10 000, €9 500, €9 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 8 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 9 500CF₄ = 9 500

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 400000 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Wachsende ewige Rente

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,075 − 0,025) = 20 000/0,05 = €400 000,00

Antwort

PV = €400 000,00

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 17443 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,349 − 1)/0,005 = €17 442,51

Antwort

FV = €17 442,51

Du hast selbst €15 000 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1125 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €25,00, i = 0,015, N = 14

Barwert der Kupons

€25,00·(1 − 0,8118)/0,015 = €313,58

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,8118 = €811,85

Kurs

P = €1 125,43

Antwort

P = €1 125,43

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 2,468 %

Gleichung für die Rendite

€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Numerisch lösen

P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20

YTM = 2,468%

Antwort

YTM = 2,468%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 11 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Fremdkapitalanteil am WACC

0,2·6%·(1 − 0,258) = 0,8904%

Eigenkapitalkosten

r_e = (9,69% − 0,8904%)/0,8 = 11%

Antwort

r_e = 11%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 10,02 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1/(1 + 0,7·0,2) = 0,8772

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,8772·(1 + 0,7·0,75) = 1,338

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 1,338·4,5% = 10,02%

Antwort

r_e = 10,02%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 127,7 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 9 000/1,1 = 8 181,82

CF₂/(1 + 0,1)² = 9 000/1,21 = 7 438,02

CF₃/(1 + 0,1)³ = 6 000/1,331 = 4 507,89

Addieren

NPV = €127,72

Antwort

NPV = €127,72

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 21,8 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

10 000·1,08³ = 12 597,12

10 000·1,08² = 11 664,00

9 500·1,08¹ = 10 260,00

9 500·1,08⁰ = 9 500,00

TV = 44 021,12

MIRR

MIRR = (44 021,12/20 000)^1/4 − 1 = 21,8%

Antwort

MIRR = 21,8%

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