Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert
FV = PV·(1 + i)n
Barwert
PV = FV/(1 + i)n
Mehrere Perioden pro Jahr
i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rente, Endwert
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Methode

  1. Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
  2. Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
  3. Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
  4. Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halbjährlich
C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite
C/P
Kurs und Rendite
Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

  1. Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
  2. Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
  3. Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
  4. Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Unternehmenswert
V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gleiche Zahlungen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interner Zinsfuß
das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung
annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

  1. Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
  2. Zinse jede Zahlung ab: CFt/(1 + r)t.
  3. Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
  4. Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel
Jahre0123456€8 000FV = ?

Du legst €8 000 zu einem Nominalzins von 5 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 6 Jahren.

PV = €8 0005% / 4n = 6
FV = €
2.Zeitwert des GeldesSchwer
Jahre012345€2 500€2 500€2 500FV = ?

Du zahlst 5 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €2 500 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 4 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 5 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €2 500i = 4%n = 5
FV = €
3.Anleihekurs & RenditeMittel
Jahre0123456€723C = ?C = ?C = ? + €1 000

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 6 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 8% für €723 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 6P = €723YTM = 8%
c = %
4.Anleihekurs & RenditeSchwer
Halbjahre0123…14€1 094€22,50€22,50€22,50 + €1 000

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei Halbjahresraten und wird in 7 Jahren fällig. Sie wird für €1 094 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5% (2×)n = 7P = €1 094
YTM = %
5.CAPM & WACCMittel
WACC = ?Stammaktien€12 000 000re​ = 14%Vorzugsaktien€2 000 000rp​ = 7,5%Fremdkapital€2 000 000rd​ = 4,5%T = 21%

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €12 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 14%, die Kosten der Vorzugsaktien 7,5% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5%. Der Steuersatz beträgt 21%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000Ps = €2 000 000D = €2 000 000re = 14%rp = 7,5%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
6.CAPM & WACCSchwer
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 5,5%D/E = 0,5EigenkapitalβL​ = 0,9FremdkapitalD/E = 0,75Eigenkapitalre​ = ?FremdkapitalT = 25,8%

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,5 ein Beta von 0,9. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,75 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25,8%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 5,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re nach der Änderung.

βL = 0,9D/E1 = 0,5D/E2 = 0,75T = 25,8%rf = 4%rm − rf = 5,5%
re = %
7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel
Jahre01234−45 00017 00022 00014 00021 000

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €17 000, €22 000, €14 000, €21 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 17 000CF2 = 22 000CF3 = 14 000CF4 = 21 000
NPV = €
8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer
Jahre01234−50 00016 50025 50029 00022 500

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €16 500, €25 500, €29 000, €22 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF0 = −50 000CF1 = 16 500CF2 = 25 500CF3 = 29 000CF4 = 22 500
MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 10779 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125
N = m·n = 4·6 = 24

Endwert

FV = 8 000·(1 + 0,0125)24 = 8 000·1,347 = €10 778,81

Antwort

FV = €10 778,81
2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 14082 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,04)5 − 1)/0,04 = 5,416

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 2 500·5,416·1,04 = €14 082,44

Antwort

FV = €14 082,44
3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 2,008 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,08)−6 = €630,17

Kupon

C = (723 − 630,17)/4,623 = €20,08

Kuponsatz

c = 20,08/1000 = 2,008%

Antwort

c = 2,008%
4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 3,001 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, N = 14

Numerisch lösen

i = 1,501% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·1,501% = 3,001%

Antwort

YTM = 3,001%
5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 11,88 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 12 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €16 000 000
E/V = 0,75, Ps/V = 0,125, D/V = 0,125

WACC

WACC = 0,75·14% + 0,125·7,5% + 0,125·4,5%·(1 − 0,21) = 11,88%

Antwort

WACC = 11,88%
6.CAPM & WACC

Antwort: re = 9,62 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), wobei βU das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

βU = 0,9/(1 + 0,742·0,5) = 0,6565

Beim neuen D/E wieder verschulden

βL = 0,6565·(1 + 0,742·0,75) = 1,022

Eigenkapitalkosten (CAPM)

re = 4% + 1,022·5,5% = 9,62%

Antwort

re = 9,62%
7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 13498 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 17 000/1,1 = 15 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 22 000/1,21 = 18 181,82
CF3/(1 + 0,1)3 = 14 000/1,331 = 10 518,41
CF4/(1 + 0,1)4 = 21 000/1,464 = 14 343,28

Addieren

NPV = €13 498,05

Antwort

NPV = €13 498,05

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 21,83 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

16 500·1,123 = 23 181,31
25 500·1,122 = 31 987,20
29 000·1,121 = 32 480,00
22 500·1,120 = 22 500,00
TV = 110 148,51

MIRR

MIRR = (110 148,51/50 000)1/4 − 1 = 21,83%

Antwort

MIRR = 21,83%

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