Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €20 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 1,5 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 7,5 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.

C₁ = €20 000g = 1,5%r = 7,5%

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 22 Jahre lang am Ende jedes Monats €50. Das Konto bringt 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €505,4% / 12N = 264

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 6 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 4,5%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 3% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%n = 6y₀ = 3%y₁ = 4,5%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% in zwei Halbjahresraten und wird in 9 Jahren fällig. Sie wird für €934 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6% (2×)n = 9P = €934

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €6 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 14%, die Kosten der Vorzugsaktien 7,5% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 6%. Der Steuersatz beträgt 28%. Bestimme den WACC.

E = €6 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_p = 7,5%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €44,50 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 3,5% und die Marktrendite 10%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 3,5%r_m = 10%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €80 000, hält 10 Jahre und verursacht €5 000 Betriebskosten pro Jahr (am Ende jedes Jahres gezahlt). Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme ihre äquivalenten jährlichen Kosten EAC.

C₀ = €80 000M = €5 000n = 10r = 10%

EAC = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €14 500, €16 500, €11 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 16 500CF₃ = 11 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 333333 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Wachsende ewige Rente

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,075 − 0,015) = 20 000/0,06 = €333 333,33

Antwort

PV = €333 333,33

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 25242 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·22 = 264

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(3,272 − 1)/0,0045 = €25 242,03

Antwort

FV = €25 242,03

Du hast selbst €13 200 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = −3,353 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €45,00, i = 0,03, N = 6

€45,00·(1 − 0,8375)/0,03 + €1 000·0,8375 = €243,77 + €837,48 = €1 081,26

Verkaufspreis

C = €45,00, i = 0,045, N = 5

€45,00·(1 − 0,8025)/0,045 + €1 000·0,8025 = €197,55 + €802,45 = €1 000,00

Haltedauerrendite

HPR = (45 + 1 000,00 − 1 081,26)/1 081,26 = −3,353%

Antwort

HPR = −3,353%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,001 %

Pro Periode

C = €30,00, N = 18

Numerisch lösen

i = 3,5% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·3,5% = 7,001%

Antwort

YTM = 7,001%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,76 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 6 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,6, P_s/V = 0,2, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,6·14% + 0,2·7,5% + 0,2·6%·(1 − 0,28) = 10,76%

Antwort

WACC = 10,76%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,549 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€44,50 = €222 500 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,8·6,5% = 8,7%

Gewichte

V = €227 750 000, E/V = 0,9769, D/V = 0,02305

WACC

WACC = 0,9769·8,7% + 0,02305·3%·(1 − 0,28) = 8,549%

Antwort

WACC = 8,549%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: EAC = 18020 €

Äquivalente jährliche Kosten: Verteile den Barwert aller Kosten als gleichen jährlichen Betrag (eine Rente) über die Lebensdauer: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). So lassen sich Maschinen mit unterschiedlicher Lebensdauer vergleichen.

Rentenbarwertfaktor

(1 − 1,1⁻¹⁰)/0,1 = 6,145

Annualisierter Kaufpreis

80 000/6,145 = 13 019,63

EAC

EAC = 13 019,63 + 5 000 = €18 019,63

Antwort

EAC = €18 019,63

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 33,36 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(30%) = 1 151,57

NPV(35%) = −531,68

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 30 + 5·1 151,57/(1 151,57 − (−531,68)) = 33,42%

exakt: NPV(33,36%) = 0 → IRR = 33,36%

Antwort

IRR = 33,36%

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