Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €1 000 zu 6 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 5 Jahren.

PV = €1 000r = 6%t = 5

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 8 Jahre lang am Ende jedes Monats €100. Das Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €1006% / 12N = 96

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 15 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3,5% für €1 115 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 15P = €1 115YTM = 3,5%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 20 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 9%) wird für €1 153 verkauft. Der Emittent kann sie in 4 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 090 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 9%P = €1 153Kündigungskurs = €1 090Kündigung in 4 Jahre

YTC = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 9%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €10 000 000 und Eigenkapitalkosten von 12%. Sein Fremdkapital besteht aus 4 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 7%, 12 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €1 129 notieren. Der Steuersatz beträgt 28%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €10 000 000r_e = 12%Anleihen: 4 000 × €1 129Kuponsatz = 7%n = 12T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €12 000, €12 000, €18 000. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000CF₃ = 18 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €6 000, €7 500, €7 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 7 500CF₃ = 7 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 1350 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,06·5 = 0,3

e^0,3 = 1,35

Endwert

FV = 1 000·1,35 = €1 349,86

Antwort

FV = €1 349,86

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 12283 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·8 = 96

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,614 − 1)/0,005 = €12 282,85

Antwort

FV = €12 282,85

Du hast selbst €9 600 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 4,498 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,035)⁻¹⁵ = €596,89

Kupon

C = (1115 − 596,89)/11,52 = €44,98

Kuponsatz

c = 44,98/1000 = 4,498%

Antwort

c = 4,498%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 6,567 %

Gleichung für die Rendite

1153 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

y = 6%: €1 175,24

y = 7%: €1 136,40

YTC = 6,567%

Antwort

YTC = 6,567%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7,499%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,685 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 5,685%

Antwort

WACC = 5,685%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,499 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

1129 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 5,503%

Marktwerte

D = 4 000·€1 129 = €4 516 000

V = €14 516 000, E/V = 0,6889, D/V = 0,3111

WACC

WACC = 0,6889·12% + 0,3111·5,503%·(1 − 0,28) = 9,499%

Antwort

WACC = 9,499%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −9312 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 12 000/1,08 = 11 111,11

CF₂/(1 + 0,08)² = 12 000/1,166 = 10 288,07

CF₃/(1 + 0,08)³ = 18 000/1,26 = 14 288,98

Addieren

NPV = €−9 311,84

Antwort

NPV = €−9 311,84

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 45,01 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(45%) = 1,23

NPV(50%) = −592,59

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 45 + 5·1,23/(1,23 − (−592,59)) = 45,01%

exakt: NPV(45,01%) = 0 → IRR = 45,01%

Antwort

IRR = 45,01%

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