Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert
FV = PV·(1 + i)n
Barwert
PV = FV/(1 + i)n
Mehrere Perioden pro Jahr
i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rente, Endwert
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Methode

  1. Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
  2. Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
  3. Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
  4. Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halbjährlich
C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite
C/P
Kurs und Rendite
Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

  1. Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
  2. Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
  3. Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
  4. Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Unternehmenswert
V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gleiche Zahlungen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interner Zinsfuß
das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung
annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

  1. Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
  2. Zinse jede Zahlung ab: CFt/(1 + r)t.
  3. Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
  4. Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel
Jahre0123…9PV = ?€15 000

Du brauchst €15 000 in 9 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €15 0004,8% / 4n = 9
PV = €
2.Zeitwert des GeldesSchwer
Monate0123…288€300€300€300FV = ?

Du sparst 24 Jahre lang am Ende jedes Monats €300. Das Konto bringt 4,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €3004,2% / 12N = 288
FV = €
3.Anleihekurs & RenditeMittel
Halbjahre0123…10€22,50€22,50€22,50 + €1 000P = ?

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 8% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%YTM = 8%n = 5
P = €
4.Anleihekurs & RenditeSchwer
Jahre012345€1 242€70€70€70 + €1 070

Eine Anleihe mit 13 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 7%) wird für €1 242 verkauft. Der Emittent kann sie in 5 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 070 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%P = €1 242Kündigungskurs = €1 070Kündigung in 5 Jahre
YTC = %
5.CAPM & WACCMittel
WACC = 6,77%Eigenkapital€3 000 000re​ = ?Fremdkapital€4 000 000rd​ = 4,5%T = 20%

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Sein WACC beträgt 6,77%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 20%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re.

E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 6,77%rd = 4,5%T = 20%
re = %
6.CAPM & WACCSchwer
rf​ = 3,5%, rm​ − rf​ = 4%D/E = 0,2EigenkapitalβL​ = 1FremdkapitalD/E = 1,5Eigenkapitalre​ = ?FremdkapitalT = 28%

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,5 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 28%, der risikolose Zinssatz 3,5% und die Marktrisikoprämie 4%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re nach der Änderung.

βL = 1D/E1 = 0,2D/E2 = 1,5T = 28%rf = 3,5%rm − rf = 4%
re = %
7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel
Jahre0123−30 00011 00015 00011 000

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €11 000, €15 000, €11 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 15 000CF3 = 11 000
NPV = €
8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer
Jahre0123−50 00019 50021 00028 000

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €19 500, €21 000, €28 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF0 = −50 000CF1 = 19 500CF2 = 21 000CF3 = 28 000
IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 9763 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·9 = 36

Barwert

PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,536 = €9 763,21

Antwort

PV = €9 763,21
2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 148740 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·24 = 288

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(2,735 − 1)/0,0035 = €148 739,76

Antwort

FV = €148 739,76

Du hast selbst €86 400 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 858,1 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, i = 0,04, N = 10

Barwert der Kupons

€22,50·(1 − 0,6756)/0,04 = €182,50

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,6756 = €675,56

Kurs

P = €858,06

Antwort

P = €858,06

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 3,029 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Gleichung für die Rendite

1242 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5

Numerisch lösen

y = 3%: €1 243,57
y = 4%: €1 191,09
YTC = 3,029%

Antwort

YTC = 3,029%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 4,501%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

5.CAPM & WACC

Antwort: re = 11 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

Fremdkapitalanteil am WACC

0,5714·4,5%·(1 − 0,2) = 2,057%

Eigenkapitalkosten

re = (6,77% − 2,057%)/0,4286 = 11%

Antwort

re = 11%
6.CAPM & WACC

Antwort: re = 10,77 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), wobei βU das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

βU = 1/(1 + 0,72·0,2) = 0,8741

Beim neuen D/E wieder verschulden

βL = 0,8741·(1 + 0,72·1,5) = 1,818

Eigenkapitalkosten (CAPM)

re = 3,5% + 1,818·4% = 10,77%

Antwort

re = 10,77%
7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 661,2 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 11 000/1,1 = 10 000,00
CF2/(1 + 0,1)2 = 15 000/1,21 = 12 396,69
CF3/(1 + 0,1)3 = 11 000/1,331 = 8 264,46

Addieren

NPV = €661,16

Antwort

NPV = €661,16

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 16,41 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(15%) = 1 245,99
NPV(20%) = −2 962,96

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 15 + 5·1 245,99/(1 245,99 − (−2 962,96)) = 16,48%
exakt: NPV(16,41%) = 0 → IRR = 16,41%

Antwort

IRR = 16,41%

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