Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €10 000 zu 6 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 4 Jahren.

PV = €10 000r = 6%t = 4

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 19 Jahre lang am Ende jedes Monats €300. Das Konto bringt 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €3003,6% / 12N = 228

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 2% und wird in 6 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 2,5% auf 1%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 2%n = 6y₁ = 2,5%y₂ = 1%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 3 Jahren fällig und kostet €945. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 3P = €945

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €8 000 000 und Eigenkapitalkosten von 9%. Sein Fremdkapital besteht aus 8 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 4%, 6 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €1 054 notieren. Der Steuersatz beträgt 25%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €8 000 000r_e = 9%Anleihen: 8 000 × €1 054Kuponsatz = 4%n = 6T = 25%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €10 000, €10 000, €12 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 12 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Eine Investition von €10 000 bringt 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres €2 000. Bestimme ihren internen Zinsfuß IRR in Prozent.

C₀ = €10 000CF = €2 000n = 6

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 12712 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,06·4 = 0,24

e^0,24 = 1,271

Endwert

FV = 10 000·1,271 = €12 712,49

Antwort

FV = €12 712,49

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 97976 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·19 = 228

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,98 − 1)/0,003 = €97 976,08

Antwort

FV = €97 976,08

Du hast selbst €68 400 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 85,5 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €20,00, i = 0,025, N = 6

€20,00·(1 − 0,8623)/0,025 + €1 000·0,8623 = €110,16 + €862,30 = €972,46

Kurs bei der neuen Rendite

C = €20,00, i = 0,01, N = 6

€20,00·(1 − 0,942)/0,01 + €1 000·0,942 = €115,91 + €942,05 = €1 057,95

Änderung

ΔP = 1 057,95 − 972,46 = €85,50

Antwort

ΔP = €85,50

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,06 %

Gleichung für die Rendite

€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Numerisch lösen

P(6%) = €946,54, P(7%) = €921,27

YTM = 6,06%

Antwort

YTM = 6,06%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,419 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·12% + 0,2857·4%·(1 − 0,258) = 9,419%

Antwort

WACC = 9,419%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,537 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

1054 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 3,003%

Marktwerte

D = 8 000·€1 054 = €8 432 000

V = €16 432 000, E/V = 0,4869, D/V = 0,5131

WACC

WACC = 0,4869·9% + 0,5131·3,003%·(1 − 0,25) = 5,537%

Antwort

WACC = 5,537%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −1040 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 10 000/1,05 = 9 523,81

CF₂/(1 + 0,05)² = 10 000/1,103 = 9 070,29

CF₃/(1 + 0,05)³ = 12 000/1,158 = 10 366,05

Addieren

NPV = €−1 039,84

Antwort

NPV = €−1 039,84

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 5,472 %

Erforderlicher Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 10 000/2 000 = 5

Nach dem Zinssatz auflösen

Der Rentenbarwertfaktor sinkt, wenn der Zinssatz steigt; schließe den Zinssatz ein und grenze ihn ein.

i = 5%: 5,076

i = 6%: 4,917

IRR = 5,472%

Antwort

IRR = 5,472%

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