Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €20 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 4 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €20 0004% / 4n = 3

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €150 000 wird über 25 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €150 0005,4% / 12N = 300

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 3 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4% für €944 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 3P = €944YTM = 4%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe notiert bei €1 055 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 5,8 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 100 Basispunkte sinkt.

P₀ = €1 055y = 5%D = 5,8Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,25 ein Beta von 1. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,6 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 21%, der risikolose Zinssatz 1,5% und die Marktrisikoprämie 7%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,6T = 21%r_f = 1,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €80 000. Sie erwirtschaftet 4 Jahre lang am Ende jedes Jahres €25 000 und kann danach für €20 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €80 000CF = €25 000S = €20 000n = 4r = 10%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €16 000, €12 500, €15 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 12 500CF₃ = 15 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 17749 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·3 = 12

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,127 = €17 748,98

Antwort

PV = €17 748,98

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 912,2 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·25 = 300

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,26

A = 150 000·0,0045/(1 − 0,26) = €912,19

Antwort

A = €912,19

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 1,982 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,04)⁻³ = €889,00

Kupon

C = (944 − 889,00)/2,775 = €19,82

Kuponsatz

c = 19,82/1000 = 1,982%

Antwort

c = 1,982%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1113 €

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Modifizierte Duration

D_mod = 5,8/1,05 = 5,524

Geschätzte Kursänderung

%ΔP ≈ −5,524·(−0,01) = 5,524%

P ≈ 1055·(1 + 0,05524) = €1 113,28

Antwort

P = €1 113,28

Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,917 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·10% + 0,3333·5%·(1 − 0,25) = 7,917%

Antwort

WACC = 7,917%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 10,12 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1/(1 + 0,79·0,25) = 0,8351

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,8351·(1 + 0,79·0,6) = 1,231

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,231·7% = 10,12%

Antwort

r_e = 10,12%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 12907 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

25 000·3,17 = 79 246,64

Barwert des Restwerts

20 000/1,464 = 13 660,27

NPV

NPV = −80 000 + 79 246,64 + 13 660,27 = €12 906,91

Antwort

NPV = €12 906,91

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 35,03 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(35%) = 10,42

NPV(40%) = −1 545,19

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 35 + 5·10,42/(10,42 − (−1 545,19)) = 35,03%

exakt: NPV(35,03%) = 0 → IRR = 35,03%

Antwort

IRR = 35,03%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation