Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €1 500, 20 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 10 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €1 500i = 10%n = 20

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 10 Jahre lang am Ende jedes Monats €100. Das Konto bringt 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €1002,4% / 12N = 120

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 4 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 9% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%YTM = 9%n = 4

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 7 Jahren fällig und kostet €905. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 7P = €905

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 20%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 1,2. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,5. Der Steuersatz beträgt 30%, der risikolose Zinssatz 3,5% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 1,2D/E = 0,5T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €5 000, €6 000, €9 000. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €10 000, €13 000, €14 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 000CF₃ = 14 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 12770 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,1486)/0,1 = 8,514

Barwert

PV = 1 500·8,514 = €12 770,35

Antwort

PV = €12 770,35

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 13547 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·10 = 120

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,271 − 1)/0,002 = €13 547,22

Antwort

FV = €13 547,22

Du hast selbst €12 000 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 851,6 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, i = 0,045, N = 8

Barwert der Kupons

€22,50·(1 − 0,7032)/0,045 = €148,41

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7032 = €703,19

Kurs

P = €851,59

Antwort

P = €851,59

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 9,948 %

Gleichung für die Rendite

€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(9%) = €949,67, P(10%) = €902,63

YTM = 9,948%

Antwort

YTM = 9,948%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,08 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·8% + 0,6·6%·(1 − 0,2) = 6,08%

Antwort

WACC = 6,08%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 13,22 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 1,2·(1 + 0,7·0,5) = 1,62

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,62·6% = 13,22%

Antwort

r_e = 13,22%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −4347 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 5 000/1,12 = 4 464,29

CF₂/(1 + 0,12)² = 6 000/1,254 = 4 783,16

CF₃/(1 + 0,12)³ = 9 000/1,405 = 6 406,02

Addieren

NPV = €−4 346,53

Antwort

NPV = €−4 346,53

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 21,79 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(20%) = 752,31

NPV(25%) = −1 256,00

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 20 + 5·752,31/(752,31 − (−1 256,00)) = 21,87%

exakt: NPV(21,79%) = 0 → IRR = 21,79%

Antwort

IRR = 21,79%

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