Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €3 000 zu einem Nominalzins von 3 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 10 Jahren.

PV = €3 0003% / 4n = 10

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €25 000 zu 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €475 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €25 000A = €4753,6% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 6 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% für €803 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 6P = €803YTM = 6%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 10 Jahren fällig und kostet €1 110. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 10P = €1 110

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,6 hat eine geforderte Rendite von 10,4%. Der risikolose Zinssatz beträgt 4%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,6r_e = 10,4%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €20,50 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 25,8%. Das Beta der Aktie ist 1,5, der risikofreie Zinssatz 1% und die Marktrendite 6%. Bestimme den WACC.

β = 1,5r_f = 1%r_m = 6%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €20 000, hält 8 Jahre und verursacht €1 500 Betriebskosten pro Jahr (am Ende jedes Jahres gezahlt). Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme ihre äquivalenten jährlichen Kosten EAC.

C₀ = €20 000M = €1 500n = 8r = 5%

EAC = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €12 000, €18 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 12 000CF₂ = 18 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 4045 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·10 = 40

Endwert

FV = 3 000·(1 + 0,0075)⁴⁰ = 3 000·1,348 = €4 045,05

Antwort

FV = €4 045,05

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 58 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,003/475 = 0,8421

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,8421)/ln(1,003) = 57,37

Auf ganze Raten aufrunden

57 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 58

Antwort

N = 58 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 1,994 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,06)⁻⁶ = €704,96

Kupon

C = (803 − 704,96)/4,917 = €19,94

Kuponsatz

c = 19,94/1000 = 1,994%

Antwort

c = 1,994%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,472 %

Gleichung für die Rendite

€1 110 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Numerisch lösen

P(6%) = €1 147,20, P(7%) = €1 070,24

YTM = 6,472%

Antwort

YTM = 6,472%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 8 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (10,4% − 4%)/1,6 = 4%

Marktrendite

r_m = 4% + 4% = 8%

Antwort

r_m = 8%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,819 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€20,50 = €102 500 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 1,5·5% = 8,5%

Gewichte

V = €143 300 000, E/V = 0,7153, D/V = 0,2847

WACC

WACC = 0,7153·8,5% + 0,2847·3,5%·(1 − 0,258) = 6,819%

Antwort

WACC = 6,819%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: EAC = 4594 €

Äquivalente jährliche Kosten: Verteile den Barwert aller Kosten als gleichen jährlichen Betrag (eine Rente) über die Lebensdauer: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). So lassen sich Maschinen mit unterschiedlicher Lebensdauer vergleichen.

Rentenbarwertfaktor

(1 − 1,05⁻⁸)/0,05 = 6,463

Annualisierter Kaufpreis

20 000/6,463 = 3 094,44

EAC

EAC = 3 094,44 + 1 500 = €4 594,44

Antwort

EAC = €4 594,44

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 13,31 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(10%) = 1 198,35

NPV(15%) = −576,56

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 10 + 5·1 198,35/(1 198,35 − (−576,56)) = 13,38%

exakt: NPV(13,31%) = 0 → IRR = 13,31%

Antwort

IRR = 13,31%

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