Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €3 000, 12 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 5 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €3 000i = 5%n = 12

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €150 000 wird über 25 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 13 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €150 0006% / 12N = 300k = 156

B = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% und wird in 13 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 5% auf 4%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 13y₁ = 5%y₂ = 4%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% in zwei Halbjahresraten und wird in 4 Jahren fällig. Sie wird für €1 093 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6% (2×)n = 4P = €1 093

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €8 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €36,00 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 7% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 1% und die Marktrendite 7,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 1%r_m = 7,5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €11 000, €10 000, €21 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 10 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €12 500, €11 500, €9 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 10 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 12 500CF₂ = 11 500CF₃ = 9 500

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 26590 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5568)/0,05 = 8,863

Barwert

PV = 3 000·8,863 = €26 589,75

Antwort

PV = €26 589,75

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 99037 €

Monatliche Rate

i = 0,005, N = 300

A = 150 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁰⁰) = €966,45

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 300 − 156 = 144

B = 966,5·(1 − (1 + 0,005)⁻¹⁴⁴)/0,005 = €99 036,93

Antwort

B = €99 036,93

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 105,8 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €60,00, i = 0,05, N = 13

€60,00·(1 − 0,5303)/0,05 + €1 000·0,5303 = €563,61 + €530,32 = €1 093,94

Kurs bei der neuen Rendite

C = €60,00, i = 0,04, N = 13

€60,00·(1 − 0,6006)/0,04 + €1 000·0,6006 = €599,14 + €600,57 = €1 199,71

Änderung

ΔP = 1 199,71 − 1 093,94 = €105,78

Antwort

ΔP = €105,78

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 3,489 %

Pro Periode

C = €30,00, N = 8

Numerisch lösen

i = 1,744% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·1,744% = 3,489%

Antwort

YTM = 3,489%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,002 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·8% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,258) = 6,002%

Antwort

WACC = 6,002%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,791 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€36,00 = €36 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 0,8·6,5% = 6,2%

Gewichte

V = €55 600 000, E/V = 0,6475, D/V = 0,3525

WACC

WACC = 0,6475·6,2% + 0,3525·7%·(1 − 0,28) = 5,791%

Antwort

WACC = 5,791%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −10958 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 11 000/1,1 = 10 000,00

CF₂/(1 + 0,1)² = 10 000/1,21 = 8 264,46

CF₃/(1 + 0,1)³ = 21 000/1,331 = 15 777,61

Addieren

NPV = €−10 957,93

Antwort

NPV = €−10 957,93

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 14,24 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

12 500·1,1² = 15 125,00

11 500·1,1¹ = 12 650,00

9 500·1,1⁰ = 9 500,00

TV = 37 275,00

MIRR

MIRR = (37 275,00/25 000)^1/3 − 1 = 14,24%

Antwort

MIRR = 14,24%

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