Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €8 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 1 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 7 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.

C₁ = €8 000g = 1%r = 7%

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €8 000 zu 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €150 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €8 000A = €1507,2% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 9 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4% für €926 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 9P = €926YTM = 4%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 9 Jahren fällig und kostet €1 165. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 9P = €1 165

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €13,00 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 0,6, der risikofreie Zinssatz 3% und die Marktrendite 8%. Bestimme den WACC.

β = 0,6r_f = 3%r_m = 8%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €30 000. Sie erwirtschaftet 7 Jahre lang am Ende jedes Jahres €4 500 und kann danach für €7 500 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €30 000CF = €4 500S = €7 500n = 7r = 8%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €30 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €17 000, €12 000, €7 000. Projekt B kostet €35 000 und bringt €10 500, €14 000, €18 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −30 000, 17 000, 12 000, 7 000B: −35 000, 10 500, 14 000, 18 000

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 133333 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Wachsende ewige Rente

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,07 − 0,01) = 8 000/0,06 = €133 333,33

Antwort

PV = €133 333,33

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 65 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,006/150 = 0,68

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,68)/ln(1,006) = 64,47

Auf ganze Raten aufrunden

64 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 65

Antwort

N = 65 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 3,005 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,04)⁻⁹ = €702,59

Kupon

C = (926 − 702,59)/7,435 = €30,05

Kuponsatz

c = 30,05/1000 = 3,005%

Antwort

c = 3,005%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 1,98 %

Gleichung für die Rendite

€1 165 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(1%) = €1 256,98, P(2%) = €1 163,24

YTM = 1,98%

Antwort

YTM = 1,98%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,67 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8% + 0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 5,67%

Antwort

WACC = 5,67%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,528 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€13,00 = €65 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 0,6·5% = 6%

Gewichte

V = €75 200 000, E/V = 0,8644, D/V = 0,1356

WACC

WACC = 0,8644·6% + 0,1356·3,5%·(1 − 0,28) = 5,528%

Antwort

WACC = 5,528%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −2195 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

4 500·5,206 = 23 428,67

Barwert des Restwerts

7 500/1,714 = 4 376,18

NPV

NPV = −30 000 + 23 428,67 + 4 376,18 = −€2 195,16

Antwort

NPV = −€2 195,16

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 5,515 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 10 500 − 17 000 = −6 500

ΔCF₂ = 14 000 − 12 000 = 2 000

ΔCF₃ = 18 000 − 7 000 = 11 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(5%) = 125,80

NPV_Δ(6%) = −116,27

r* = 5,515%

Antwort

r* = 5,515%

Probe: Bei 5,515% betragen beide Kapitalwerte €2 848,81.

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