Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €8 000 zu einem Nominalzins von 4,8 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 10 Jahren.

PV = €8 0004,8% / 12n = 10

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €25 000 wird über 4 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €25 0004,8% / 12N = 48

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 3 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 3,5%n = 3

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 6 Jahren fällig und kostet €950. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 6P = €950

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €12 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 13%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 20%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €37,00 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €960. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 9,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €16 000, €22 000, €14 000, €20 000. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 22 000CF₃ = 14 000CF₄ = 20 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €30 000, €28 000, €23 500, €22 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 30 000CF₂ = 28 000CF₃ = 23 500CF₄ = 22 000

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 12916 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·10 = 120

Endwert

FV = 8 000·(1 + 0,004)¹²⁰ = 8 000·1,615 = €12 916,22

Antwort

FV = €12 916,22

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 573,5 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,8256

A = 25 000·0,004/(1 − 0,8256) = €573,47

Antwort

A = €573,47

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 985,9 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,0175, N = 6

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,9011)/0,0175 = €84,73

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,9011 = €901,14

Kurs

P = €985,88

Antwort

P = €985,88

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 3,952 %

Gleichung für die Rendite

€950 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Numerisch lösen

P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €947,58

YTM = 3,952%

Antwort

YTM = 3,952%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 11,12 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·13% + 0,2·4,5%·(1 − 0,2) = 11,12%

Antwort

WACC = 11,12%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,115 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€37,00 = €185 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,8·7% = 8,1%

Gewichte

V = €223 400 000, E/V = 0,8281, D/V = 0,1719

WACC

WACC = 0,8281·8,1% + 0,1719·3%·(1 − 0,21) = 7,115%

Antwort

WACC = 7,115%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 14491 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 16 000/1,08 = 14 814,81

CF₂/(1 + 0,08)² = 22 000/1,166 = 18 861,45

CF₃/(1 + 0,08)³ = 14 000/1,26 = 11 113,65

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 20 000/1,36 = 14 700,60

Addieren

NPV = €14 490,52

Antwort

NPV = €14 490,52

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 25,89 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

30 000·1,12³ = 42 147,84

28 000·1,12² = 35 123,20

23 500·1,12¹ = 26 320,00

22 000·1,12⁰ = 22 000,00

TV = 125 591,04

MIRR

MIRR = (125 591,04/50 000)^1/4 − 1 = 25,89%

Antwort

MIRR = 25,89%

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