Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €5 000 in 6 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €5 0004,8% / 4n = 6

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du möchtest in 20 Jahren €25 000 haben. Du sparst am Ende jedes Monats denselben Betrag auf einem Konto mit 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die monatliche Einzahlung A.

FV = €25 0004,8% / 12N = 240

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 7 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4% für €1 240 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 7P = €1 240YTM = 4%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% und wird in 3 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%n = 3YTM = 3%

D = Jahre

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,6 hat eine geforderte Rendite von 9,9%. Der risikolose Zinssatz beträgt 3,5%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,6r_e = 9,9%r_f = 3,5%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1,2. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,75 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 3% und die Marktrisikoprämie 6,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 20%r_f = 3%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €20 000, hält 6 Jahre und verursacht €5 000 Betriebskosten pro Jahr (am Ende jedes Jahres gezahlt). Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme ihre äquivalenten jährlichen Kosten EAC.

C₀ = €20 000M = €5 000n = 6r = 10%

EAC = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €36 500, €19 500, €35 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 500CF₂ = 19 500CF₃ = 35 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 3755 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·6 = 24

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,331 = €3 755,24

Antwort

PV = €3 755,24

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 62,24 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·20 = 240

Einzahlung

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,004/(2,607 − 1) = €62,24

Antwort

A = €62,24

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 7,999 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,04)⁻⁷ = €759,92

Kupon

C = (1240 − 759,92)/6,002 = €79,99

Kuponsatz

c = 79,99/1000 = 7,999%

Antwort

c = 7,999%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 2,875 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 45/1,03 = 43,69, t·PV = 43,69

t = 2: 45/1,061 = 42,42, t·PV = 84,83

t = 3: 1045/1,093 = 956,32, t·PV = 2 868,97

Duration

P = 1 042,43

D = 2 997,49/1 042,43 = 2,875

Antwort

D = 2,875 Jahre

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 7,5 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (9,9% − 3,5%)/1,6 = 4%

Marktrendite

r_m = 3,5% + 4% = 7,5%

Antwort

r_m = 7,5%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 13,76 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,2/(1 + 0,8·0,2) = 1,034

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,034·(1 + 0,8·0,75) = 1,655

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 1,655·6,5% = 13,76%

Antwort

r_e = 13,76%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: EAC = 9592 €

Äquivalente jährliche Kosten: Verteile den Barwert aller Kosten als gleichen jährlichen Betrag (eine Rente) über die Lebensdauer: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). So lassen sich Maschinen mit unterschiedlicher Lebensdauer vergleichen.

Rentenbarwertfaktor

(1 − 1,1⁻⁶)/0,1 = 4,355

Annualisierter Kaufpreis

20 000/4,355 = 4 592,15

EAC

EAC = 4 592,15 + 5 000 = €9 592,15

Antwort

EAC = €9 592,15

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 38,01 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(35%) = 1 962,10

NPV(40%) = −1 224,49

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 35 + 5·1 962,10/(1 962,10 − (−1 224,49)) = 38,08%

exakt: NPV(38,01%) = 0 → IRR = 38,01%

Antwort

IRR = 38,01%

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