Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €20 000 in 8 Jahren. Ein Konto bringt 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €20 0003% / 12n = 8

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €10 000 zu 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €150 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €10 000A = €1507,2% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 8 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4% für €1 135 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 8P = €1 135YTM = 4%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe notiert bei €1 075 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 11,2 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 150 Basispunkte sinkt.

P₀ = €1 075y = 6%D = 11,2Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €8 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €1 500 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 14%, die Kosten der Vorzugsaktien 8% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 6%. Der Steuersatz beträgt 28%. Bestimme den WACC.

E = €8 000 000P_s = €1 500 000D = €4 000 000r_e = 14%r_p = 8%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1,1. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,6 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 2% und die Marktrisikoprämie 6,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,6T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €18 000, €13 000, €11 000, €9 000. Die Kapitalkosten betragen 7,000000000000001 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 13 000CF₃ = 11 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €30 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €17 000, €11 500, €6 000. Projekt B kostet €32 000 und bringt €9 000, €12 500, €16 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −30 000, 17 000, 11 500, 6 000B: −32 000, 9 000, 12 500, 16 500

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 15737 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·8 = 96

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,271 = €15 737,27

Antwort

PV = €15 737,27

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 86 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,006/150 = 0,6

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,6)/ln(1,006) = 85,39

Auf ganze Raten aufrunden

85 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 86

Antwort

N = 86 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 6,005 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,04)⁻⁸ = €730,69

Kupon

C = (1135 − 730,69)/6,733 = €60,05

Kuponsatz

c = 60,05/1000 = 6,005%

Antwort

c = 6,005%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1245 €

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Modifizierte Duration

D_mod = 11,2/1,06 = 10,57

Geschätzte Kursänderung

%ΔP ≈ −10,57·(−0,015) = 15,85%

P ≈ 1075·(1 + 0,1585) = €1 245,38

Antwort

P = €1 245,38

Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,47 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 8 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €13 500 000

E/V = 0,5926, P_s/V = 0,1111, D/V = 0,2963

WACC

WACC = 0,5926·14% + 0,1111·8% + 0,2963·6%·(1 − 0,28) = 10,47%

Antwort

WACC = 10,47%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 11,12 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,1/(1 + 0,8·0,2) = 0,9483

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,9483·(1 + 0,8·0,6) = 1,403

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2% + 1,403·6,5% = 11,12%

Antwort

r_e = 11,12%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −977,5 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 18 000/1,07 = 16 822,43

CF₂/(1 + 0,07)² = 13 000/1,145 = 11 354,70

CF₃/(1 + 0,07)³ = 11 000/1,225 = 8 979,28

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 9 000/1,311 = 6 866,06

Addieren

NPV = €−977,53

Antwort

NPV = €−977,53

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 6,829 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 9 000 − 17 000 = −8 000

ΔCF₂ = 12 500 − 11 500 = 1 000

ΔCF₃ = 16 500 − 6 000 = 10 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(6%) = 158,83

NPV_Δ(7%) = −32,07

r* = 6,829%

Antwort

r* = 6,829%

Probe: Bei 6,829% betragen beide Kapitalwerte €911,39.

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