Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 3,6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 2 Jahren.

PV = €5 0003,6% / 4n = 2

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 21 Jahre lang am Ende jedes Monats €100. Das Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €1006% / 12N = 252

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% und wird in 12 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 5% auf 3,5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%n = 12y₁ = 5%y₂ = 3,5%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 9 Jahren fällig und kostet €835. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 9P = €835

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,6 hat eine geforderte Rendite von 10,4%. Der risikolose Zinssatz beträgt 4%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,6r_e = 10,4%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 000 000 Aktien zu je €60,00 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 20%. Das Beta der Aktie ist 0,9, der risikofreie Zinssatz 1% und die Marktrendite 5%. Bestimme den WACC.

β = 0,9r_f = 1%r_m = 5%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €100 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €24 000 und kann danach für €20 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF = €24 000S = €20 000n = 5r = 10%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €7 000, €6 500, €6 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 500CF₃ = 6 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 5372 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·2 = 8

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,009)⁸ = 5 000·1,074 = €5 371,55

Antwort

FV = €5 371,55

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 50287 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·21 = 252

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(3,514 − 1)/0,005 = €50 287,41

Antwort

FV = €50 287,41

Du hast selbst €25 200 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 140,9 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €45,00, i = 0,05, N = 12

€45,00·(1 − 0,5568)/0,05 + €1 000·0,5568 = €398,85 + €556,84 = €955,68

Kurs bei der neuen Rendite

C = €45,00, i = 0,035, N = 12

€45,00·(1 − 0,6618)/0,035 + €1 000·0,6618 = €434,85 + €661,78 = €1 096,63

Änderung

ΔP = 1 096,63 − 955,68 = €140,95

Antwort

ΔP = €140,95

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,476 %

Gleichung für die Rendite

€835 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(6%) = €863,97, P(7%) = €804,54

YTM = 6,476%

Antwort

YTM = 6,476%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 8 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (10,4% − 4%)/1,6 = 4%

Marktrendite

r_m = 4% + 4% = 8%

Antwort

r_m = 8%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 4,143 %

Marktwerte

E = 2 000 000·€60,00 = €120 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 0,9·4% = 4,6%

Gewichte

V = €160 800 000, E/V = 0,7463, D/V = 0,2537

WACC

WACC = 0,7463·4,6% + 0,2537·3,5%·(1 − 0,2) = 4,143%

Antwort

WACC = 4,143%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 3397 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

24 000·3,791 = 90 978,88

Barwert des Restwerts

20 000/1,611 = 12 418,43

NPV

NPV = −100 000 + 90 978,88 + 12 418,43 = €3 397,31

Antwort

NPV = €3 397,31

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 44,04 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(40%) = 502,92

NPV(45%) = −112,76

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 40 + 5·502,92/(502,92 − (−112,76)) = 44,08%

exakt: NPV(44,04%) = 0 → IRR = 44,04%

Antwort

IRR = 44,04%

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