Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 5 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 4 Jahren.

PV = €5 0005% / 4n = 4

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du möchtest in 4 Jahren €100 000 haben. Du sparst am Ende jedes Monats denselben Betrag auf einem Konto mit 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die monatliche Einzahlung A.

FV = €100 0004,8% / 12N = 48

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% und wird in 4 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 6% auf 5,5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 4y₁ = 6%y₂ = 5,5%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 6 Jahren fällig und kostet €915. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 6P = €915

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 7% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 4 000 000 Aktien mit einem Kurs von €30,00; der Buchwert seines Eigenkapitals beträgt €72 000 000. Es hat gerade eine Dividende von €1,10 pro Aktie gezahlt, und die Dividenden wachsen um 3% pro Jahr. Sein Fremdkapital hat einen Marktwert von €96 000 000 und Kosten vor Steuern von 4%. Der Steuersatz beträgt 30%. Bestimme den WACC, mit dem Dividendenwachstumsmodell für die Eigenkapitalkosten.

N = 4 000 000P₀ = €30,00Buchwert des Eigenkapitals = €72 000 000D₀ = €1,10g = 3%D = €96 000 000r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €30 000. Sie erwirtschaftet 8 Jahre lang am Ende jedes Jahres €4 500 und kann danach für €3 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €30 000CF = €4 500S = €3 000n = 8r = 6%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €7 500, €7 000, €7 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 6099 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·4 = 16

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,0125)¹⁶ = 5 000·1,22 = €6 099,45

Antwort

FV = €6 099,45

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 1894 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Einzahlung

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,004/(1,211 − 1) = €1 893,88

Antwort

A = €1 893,88

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 18,33 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €80,00, i = 0,06, N = 4

€80,00·(1 − 0,7921)/0,06 + €1 000·0,7921 = €277,21 + €792,09 = €1 069,30

Kurs bei der neuen Rendite

C = €80,00, i = 0,055, N = 4

€80,00·(1 − 0,8072)/0,055 + €1 000·0,8072 = €280,41 + €807,22 = €1 087,63

Änderung

ΔP = 1 087,63 − 1 069,30 = €18,33

Antwort

ΔP = €18,33

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 9,949 %

Gleichung für die Rendite

€915 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Numerisch lösen

P(9%) = €955,14, P(10%) = €912,89

YTM = 9,949%

Antwort

YTM = 9,949%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,166 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

WACC

WACC = 0,4286·10% + 0,5714·7%·(1 − 0,28) = 7,166%

Antwort

WACC = 7,166%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,009 %

Eigenkapitalkosten

D₁ = 1,1·1,03 = €1,13

r_e = 1,133/30 + 0,03 = 6,777%

Marktwerte

E = 4 000 000·€30,00 = €120 000 000

V = €216 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·6,777% + 0,4444·4%·(1 − 0,3) = 5,009%

Antwort

WACC = 5,009%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −173,7 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

4 500·6,21 = 27 944,07

Barwert des Restwerts

3 000/1,594 = 1 882,24

NPV

NPV = −30 000 + 27 944,07 + 1 882,24 = −€173,69

Antwort

NPV = −€173,69

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 51,62 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(50%) = 185,19

NPV(55%) = −367,90

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 50 + 5·185,19/(185,19 − (−367,90)) = 51,67%

exakt: NPV(51,62%) = 0 → IRR = 51,62%

Antwort

IRR = 51,62%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation