Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 3,6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 7 Jahren.

PV = €5 0003,6% / 4n = 7

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €5 000 zu 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €100 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €5 000A = €1007,2% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 6 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 6%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 7% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 7,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 6y₀ = 7%y₁ = 7,5%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 4 Jahren fällig und kostet €1 080. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 4P = €1 080

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 0,4. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 20%. Bestimme den WACC.

D/E = 0,4r_e = 10%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 0,9. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,5 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 30%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 4%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1,5T = 30%r_f = 2,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €80 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €16 000 und kann danach für €16 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €80 000CF = €16 000S = €16 000n = 5r = 10%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €7 500, €6 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 6 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 6426 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·7 = 28

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,009)²⁸ = 5 000·1,285 = €6 425,73

Antwort

FV = €6 425,73

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 60 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,006/100 = 0,7

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,7)/ln(1,006) = 59,62

Auf ganze Raten aufrunden

59 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 60

Antwort

N = 60 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 4,933 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €60,00, i = 0,07, N = 6

€60,00·(1 − 0,6663)/0,07 + €1 000·0,6663 = €285,99 + €666,34 = €952,33

Verkaufspreis

C = €60,00, i = 0,075, N = 5

€60,00·(1 − 0,6966)/0,075 + €1 000·0,6966 = €242,75 + €696,56 = €939,31

Haltedauerrendite

HPR = (60 + 939,31 − 952,33)/952,33 = 4,933%

Antwort

HPR = 4,933%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 0,9522 %

Gleichung für die Rendite

€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(1%) = €1 078,04, P(1%) = €1 078,04

YTM = 0,9522%

Antwort

YTM = 0,9522%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,943 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte aus D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·10% + 0,2857·3,5%·(1 − 0,2) = 7,943%

Antwort

WACC = 7,943%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,974 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 0,9/(1 + 0,7·0,2) = 0,7895

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,7895·(1 + 0,7·1,5) = 1,618

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,618·4% = 8,974%

Antwort

r_e = 8,974%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −9413 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

16 000·3,791 = 60 652,59

Barwert des Restwerts

16 000/1,611 = 9 934,74

NPV

NPV = −80 000 + 60 652,59 + 9 934,74 = −€9 412,67

Antwort

NPV = −€9 412,67

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 23,56 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(20%) = 416,67

NPV(25%) = −160,00

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 20 + 5·416,67/(416,67 − (−160,00)) = 23,61%

exakt: NPV(23,56%) = 0 → IRR = 23,56%

Antwort

IRR = 23,56%

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