Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €20 000 zu 5 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 5 Jahren.

PV = €20 000r = 5%t = 5

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €12 000 zu 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €150 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €12 000A = €1502,4% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 5 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 7% für €877 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 5P = €877YTM = 7%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% und wird in 3 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 3YTM = 3%

D = Jahre

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,4 hat eine geforderte Rendite von 11,4%. Der risikolose Zinssatz beträgt 3%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,4r_e = 11,4%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €23,50 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3% und der Steuersatz 20%. Das Beta der Aktie ist 0,6, der risikofreie Zinssatz 3% und die Marktrendite 7%. Bestimme den WACC.

β = 0,6r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €60 000, hält 7 Jahre und verursacht €1 000 Betriebskosten pro Jahr (am Ende jedes Jahres gezahlt). Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme ihre äquivalenten jährlichen Kosten EAC.

C₀ = €60 000M = €1 000n = 7r = 5%

EAC = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €11 000, €7 500, €5 000. Projekt B kostet €25 000 und bringt €7 000, €9 500, €13 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 11 000, 7 500, 5 000B: −25 000, 7 000, 9 500, 13 500

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 25681 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,05·5 = 0,25

e^0,25 = 1,284

Endwert

FV = 20 000·1,284 = €25 680,51

Antwort

FV = €25 680,51

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 88 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,002/150 = 0,84

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,84)/ln(1,002) = 87,26

Auf ganze Raten aufrunden

87 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 88

Antwort

N = 88 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 4 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,07)⁻⁵ = €712,99

Kupon

C = (877 − 712,99)/4,1 = €40,00

Kuponsatz

c = 40/1000 = 4%

Antwort

c = 4%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 2,888 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 40/1,03 = 38,83, t·PV = 38,83

t = 2: 40/1,061 = 37,70, t·PV = 75,41

t = 3: 1040/1,093 = 951,75, t·PV = 2 855,24

Duration

P = 1 028,29

D = 2 969,48/1 028,29 = 2,888

Antwort

D = 2,888 Jahre

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 9 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (11,4% − 3%)/1,4 = 6%

Marktrendite

r_m = 3% + 6% = 9%

Antwort

r_m = 9%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 3,476 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€23,50 = €23 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 0,6·4% = 5,4%

Gewichte

V = €65 500 000, E/V = 0,3588, D/V = 0,6412

WACC

WACC = 0,3588·5,4% + 0,6412·3%·(1 − 0,2) = 3,476%

Antwort

WACC = 3,476%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: EAC = 11369 €

Äquivalente jährliche Kosten: Verteile den Barwert aller Kosten als gleichen jährlichen Betrag (eine Rente) über die Lebensdauer: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). So lassen sich Maschinen mit unterschiedlicher Lebensdauer vergleichen.

Rentenbarwertfaktor

(1 − 1,05⁻⁷)/0,05 = 5,786

Annualisierter Kaufpreis

60 000/5,786 = 10 369,19

EAC

EAC = 10 369,19 + 1 000 = €11 369,19

Antwort

EAC = €11 369,19

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 6,726 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 7 000 − 11 000 = −4 000

ΔCF₂ = 9 500 − 7 500 = 2 000

ΔCF₃ = 13 500 − 5 000 = 8 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(6%) = 143,17

NPV_Δ(7%) = −52,91

r* = 6,726%

Antwort

r* = 6,726%

Probe: Bei 6,726% betragen beide Kapitalwerte €1 004,15.

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