Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €12 000 zu einem Nominalzins von 3,6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 7 Jahren.

PV = €12 0003,6% / 4n = 7

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 23 Jahre lang am Ende jedes Monats €50. Das Konto bringt 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €507,2% / 12N = 276

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 5% und wird in 5 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 5,5% auf 7%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 5y₁ = 5,5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 7% wird in 6 Jahren fällig und kostet €1 075. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 6P = €1 075

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 9%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien mit einem Kurs von €55,50; der Buchwert seines Eigenkapitals beträgt €16 700 000. Es hat gerade eine Dividende von €1,80 pro Aktie gezahlt, und die Dividenden wachsen um 4% pro Jahr. Sein Fremdkapital hat einen Marktwert von €16 700 000 und Kosten vor Steuern von 4%. Der Steuersatz beträgt 20%. Bestimme den WACC, mit dem Dividendenwachstumsmodell für die Eigenkapitalkosten.

N = 1 000 000P₀ = €55,50Buchwert des Eigenkapitals = €16 700 000D₀ = €1,80g = 4%D = €16 700 000r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €15 000, €28 000, €28 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 28 000CF₃ = 28 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €21 000, €28 500, €31 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 28 500CF₃ = 31 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 15422 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·7 = 28

Endwert

FV = 12 000·(1 + 0,009)²⁸ = 12 000·1,285 = €15 421,76

Antwort

FV = €15 421,76

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 35104 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·23 = 276

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(5,212 − 1)/0,006 = €35 103,83

Antwort

FV = €35 103,83

Du hast selbst €13 800 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = −60,65 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €50,00, i = 0,055, N = 5

€50,00·(1 − 0,7651)/0,055 + €1 000·0,7651 = €213,51 + €765,13 = €978,65

Kurs bei der neuen Rendite

C = €50,00, i = 0,07, N = 5

€50,00·(1 − 0,713)/0,07 + €1 000·0,713 = €205,01 + €712,99 = €918,00

Änderung

ΔP = 918,00 − 978,65 = −€60,65

Antwort

ΔP = −€60,65

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,499 %

Gleichung für die Rendite

€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Numerisch lösen

P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17

YTM = 5,499%

Antwort

YTM = 5,499%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,6 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556

WACC

WACC = 0,4444·9% + 0,5556·4%·(1 − 0,28) = 5,6%

Antwort

WACC = 5,6%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,408 %

Eigenkapitalkosten

D₁ = 1,8·1,04 = €1,87

r_e = 1,872/55,5 + 0,04 = 7,373%

Marktwerte

E = 1 000 000·€55,50 = €55 500 000

V = €72 200 000, E/V = 0,7687, D/V = 0,2313

WACC

WACC = 0,7687·7,373% + 0,2313·4%·(1 − 0,2) = 6,408%

Antwort

WACC = 6,408%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −2186 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 15 000/1,1 = 13 636,36

CF₂/(1 + 0,1)² = 28 000/1,21 = 23 140,50

CF₃/(1 + 0,1)³ = 28 000/1,331 = 21 036,81

Addieren

NPV = €−2 186,33

Antwort

NPV = €−2 186,33

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 26,15 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(25%) = 912,00

NPV(30%) = −2 872,10

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 25 + 5·912,00/(912,00 − (−2 872,10)) = 26,21%

exakt: NPV(26,15%) = 0 → IRR = 26,15%

Antwort

IRR = 26,15%

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