Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €1 500, 12 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 10 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €1 500i = 10%n = 12

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €150 000 wird über 30 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €150 0004,8% / 12N = 360

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 3 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 9% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 5%YTM = 9%n = 3

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 5% wird in 7 Jahren fällig und kostet €945. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 7P = €945

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,4 hat eine geforderte Rendite von 9,5%. Der risikolose Zinssatz beträgt 2,5%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,4r_e = 9,5%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,8. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 1,5. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,8D/E = 1,5T = 20%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €7 000, €12 000, €8 000. Die Kapitalkosten betragen 9 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 12 000CF₃ = 8 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €27 000, €37 000, €31 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 000CF₂ = 37 000CF₃ = 31 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 10221 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3186)/0,1 = 6,814

Barwert

PV = 1 500·6,814 = €10 220,54

Antwort

PV = €10 220,54

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 787 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·30 = 360

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,2376

A = 150 000·0,004/(1 − 0,2376) = €787,00

Antwort

A = €787,00

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 896,8 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €25,00, i = 0,045, N = 6

Barwert der Kupons

€25,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €128,95

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7679 = €767,90

Kurs

P = €896,84

Antwort

P = €896,84

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,985 %

Gleichung für die Rendite

€945 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €944,18

YTM = 5,985%

Antwort

YTM = 5,985%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 7,5 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (9,5% − 2,5%)/1,4 = 5%

Marktrendite

r_m = 2,5% + 5% = 7,5%

Antwort

r_m = 7,5%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 14,56 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,8·(1 + 0,8·1,5) = 1,76

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 1,76·6% = 14,56%

Antwort

r_e = 14,56%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −7300 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 7 000/1,09 = 6 422,02

CF₂/(1 + 0,09)² = 12 000/1,188 = 10 100,16

CF₃/(1 + 0,09)³ = 8 000/1,295 = 6 177,47

Addieren

NPV = €−7 300,35

Antwort

NPV = €−7 300,35

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 39,46 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(35%) = 3 104,71

NPV(40%) = −357,14

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 35 + 5·3 104,71/(3 104,71 − (−357,14)) = 39,48%

exakt: NPV(39,46%) = 0 → IRR = 39,46%

Antwort

IRR = 39,46%

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