Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 2 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 8 Jahren.

PV = €5 0002% / 12n = 8

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €8 000 wird über 6 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €8 0007,2% / 12N = 72

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 9 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 2,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 6%YTM = 2,5%n = 9

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% und wird in 6 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 9%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 6YTM = 9%

D = Jahre

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Sein WACC beträgt 12,37%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 30%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €5 000 000D = €1 000 000WACC = 12,37%r_d = 6%T = 30%

r_e = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,4 ein Beta von 1,5. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,75 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 1,5% und die Marktrisikoprämie 7%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,75T = 25%r_f = 1,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €50 000. Sie erwirtschaftet 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres €9 500 und kann danach für €10 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €50 000CF = €9 500S = €10 000n = 6r = 10%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €15 000, €12 500, €12 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 12 500CF₃ = 12 000

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 5867 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·8 = 96

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,001667)⁹⁶ = 5 000·1,173 = €5 866,77

Antwort

FV = €5 866,77

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 137,2 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·6 = 72

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,65

A = 8 000·0,006/(1 − 0,65) = €137,16

Antwort

A = €137,16

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1281 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €30,00, i = 0,0125, N = 18

Barwert der Kupons

€30,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €480,89

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7996 = €799,63

Kurs

P = €1 280,52

Antwort

P = €1 280,52

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 4,967 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 80/1,09 = 73,39, t·PV = 73,39

t = 2: 80/1,188 = 67,33, t·PV = 134,67

t = 3: 80/1,295 = 61,77, t·PV = 185,32

t = 4: 80/1,412 = 56,67, t·PV = 226,70

t = 5: 80/1,539 = 51,99, t·PV = 259,97

t = 6: 1080/1,677 = 643,97, t·PV = 3 863,81

Duration

P = 955,14

D = 4 743,87/955,14 = 4,967

Antwort

D = 4,967 Jahre

5.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 14 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

Fremdkapitalanteil am WACC

0,1667·6%·(1 − 0,3) = 0,7%

Eigenkapitalkosten

r_e = (12,37% − 0,7%)/0,8333 = 14%

Antwort

r_e = 14%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 14,12 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,5/(1 + 0,75·0,4) = 1,154

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,154·(1 + 0,75·0,75) = 1,803

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,803·7% = 14,12%

Antwort

r_e = 14,12%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −2980 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

9 500·4,355 = 41 374,98

Barwert des Restwerts

10 000/1,772 = 5 644,74

NPV

NPV = −50 000 + 41 374,98 + 5 644,74 = −€2 980,28

Antwort

NPV = −€2 980,28

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 21,48 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

15 000·1,12² = 18 816,00

12 500·1,12¹ = 14 000,00

12 000·1,12⁰ = 12 000,00

TV = 44 816,00

MIRR

MIRR = (44 816,00/25 000)^1/3 − 1 = 21,48%

Antwort

MIRR = 21,48%

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