Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €20 000 in 5 Jahren. Ein Konto bringt 2 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €20 0002% / 4n = 5

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €10 000 wird über 5 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 5,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €10 0005,4% / 12N = 60

I = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 6 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5,5% für €975 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 6P = €975YTM = 5,5%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 7 Jahren fällig und kostet €1 060. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 7P = €1 060

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €12 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 7% und der Steuersatz 30%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 4 000 000 Aktien zu je €31,50 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €960. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 6% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 0,6, der risikofreie Zinssatz 3,5% und die Marktrendite 8%. Bestimme den WACC.

β = 0,6r_f = 3,5%r_m = 8%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €75 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €37 000, €31 000, €22 000, €16 000. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 31 000CF₃ = 22 000CF₄ = 16 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet heute €80 000. Seine Zahlung beträgt €9 000 am Ende von Jahr 1 und wächst um 3 % pro Jahr bis zur letzten Zahlung am Ende von Jahr 8. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €9 000g = 3%n = 8r = 10%

NPV = €

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 18101 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·5 = 20

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,105 = €18 101,26

Antwort

PV = €18 101,26

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 1433 €

Monatliche Rate

i = 0,0045, N = 60

A = 10 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁶⁰) = €190,55

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 60·190,6 − 10 000 = €1 433,02

Antwort

I = €1 433,02

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 5 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,055)⁻⁶ = €725,25

Kupon

C = (975 − 725,25)/4,996 = €50,00

Kuponsatz

c = 50/1000 = 5%

Antwort

c = 5%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,964 %

Gleichung für die Rendite

€1 060 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86

YTM = 4,964%

Antwort

YTM = 4,964%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,633 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·7%·(1 − 0,3) = 9,633%

Antwort

WACC = 9,633%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,761 %

Marktwerte

E = 4 000 000·€31,50 = €126 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,6·4,5% = 6,2%

Gewichte

V = €164 400 000, E/V = 0,7664, D/V = 0,2336

WACC

WACC = 0,7664·6,2% + 0,2336·6%·(1 − 0,28) = 5,761%

Antwort

WACC = 5,761%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 8576 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 37 000/1,12 = 33 035,71

CF₂/(1 + 0,12)² = 31 000/1,254 = 24 713,01

CF₃/(1 + 0,12)³ = 22 000/1,405 = 15 659,17

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 16 000/1,574 = 10 168,29

Addieren

NPV = €8 576,18

Antwort

NPV = €8 576,18

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −27409 €

Barwert der wachsenden Rente

((1,03)/(1,1))⁸ = 0,591

PV = 9 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,591) = 52 591,17

NPV

NPV = 52 591,17 − 80 000 = −€27 408,83

Antwort

NPV = −€27 408,83

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

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