Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €2 000 zu 5 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 15 Jahren.

PV = €2 000r = 5%t = 15

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 21 Jahre lang am Ende jedes Monats €150. Das Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €1506% / 12N = 252

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% und wird in 6 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 2,5% auf 4%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%n = 6y₁ = 2,5%y₂ = 4%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 5 Jahren fällig und kostet €900. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 5P = €900

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €8 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €500 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 9%, die Kosten der Vorzugsaktien 7,5% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 4%. Der Steuersatz beträgt 21%. Bestimme den WACC.

E = €8 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 9%r_p = 7,5%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,7. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,25. Der Steuersatz beträgt 30%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 5,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,7D/E = 0,25T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €30 000. Sie erwirtschaftet 8 Jahre lang am Ende jedes Jahres €4 500 und kann danach für €4 500 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €30 000CF = €4 500S = €4 500n = 8r = 12%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €22 000, €15 500, €9 500. Projekt B kostet €45 000 und bringt €12 500, €18 000, €23 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −40 000, 22 000, 15 500, 9 500B: −45 000, 12 500, 18 000, 23 000

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 4234 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,05·15 = 0,75

e^0,75 = 2,117

Endwert

FV = 2 000·2,117 = €4 234,00

Antwort

FV = €4 234,00

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 75431 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·21 = 252

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(3,514 − 1)/0,005 = €75 431,12

Antwort

FV = €75 431,12

Du hast selbst €37 800 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = −83,95 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €45,00, i = 0,025, N = 6

€45,00·(1 − 0,8623)/0,025 + €1 000·0,8623 = €247,87 + €862,30 = €1 110,16

Kurs bei der neuen Rendite

C = €45,00, i = 0,04, N = 6

€45,00·(1 − 0,7903)/0,04 + €1 000·0,7903 = €235,90 + €790,31 = €1 026,21

Änderung

ΔP = 1 026,21 − 1 110,16 = −€83,95

Antwort

ΔP = −€83,95

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 8,54 %

Gleichung für die Rendite

€900 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

P(8%) = €920,15, P(9%) = €883,31

YTM = 8,54%

Antwort

YTM = 8,54%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,781 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 8 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €13 500 000

E/V = 0,5926, P_s/V = 0,03704, D/V = 0,3704

WACC

WACC = 0,5926·9% + 0,03704·7,5% + 0,3704·4%·(1 − 0,21) = 6,781%

Antwort

WACC = 6,781%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,524 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,7·(1 + 0,7·0,25) = 0,8225

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 0,8225·5,5% = 8,524%

Antwort

r_e = 8,524%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −5828 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

4 500·4,968 = 22 354,38

Barwert des Restwerts

4 500/2,476 = 1 817,47

NPV

NPV = −30 000 + 22 354,38 + 1 817,47 = −€5 828,15

Antwort

NPV = −€5 828,15

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 4,596 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 12 500 − 22 000 = −9 500

ΔCF₂ = 18 000 − 15 500 = 2 500

ΔCF₃ = 23 000 − 9 500 = 13 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(4%) = 178,23

NPV_Δ(5%) = −118,24

r* = 4,596%

Antwort

r* = 4,596%

Probe: Bei 4,596% betragen beide Kapitalwerte €3 502,95.

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