Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €2 000, 16 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 3 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €2 000i = 3%n = 16

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 6 Jahre lang am Ende jedes Monats €150. Das Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €1504,8% / 12N = 72

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% und wird in 5 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 2,5% auf 4,5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 5y₁ = 2,5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 5 Jahren fällig und kostet €920. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 5P = €920

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €26,50 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 7% und der Steuersatz 20%. Das Beta der Aktie ist 0,9, der risikofreie Zinssatz 3,5% und die Marktrendite 9,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,9r_f = 3,5%r_m = 9,5%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €100 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €11 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 3 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €11 000g = 3%r = 12%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €11 000, €13 000, €9 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 000CF₂ = 13 000CF₃ = 9 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 25122 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6232)/0,03 = 12,56

Barwert

PV = 2 000·12,56 = €25 122,20

Antwort

PV = €25 122,20

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 12487 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,333 − 1)/0,004 = €12 487,17

Antwort

FV = €12 487,17

Du hast selbst €10 800 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = −89,08 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €30,00, i = 0,025, N = 5

€30,00·(1 − 0,8839)/0,025 + €1 000·0,8839 = €139,37 + €883,85 = €1 023,23

Kurs bei der neuen Rendite

C = €30,00, i = 0,045, N = 5

€30,00·(1 − 0,8025)/0,045 + €1 000·0,8025 = €131,70 + €802,45 = €934,15

Änderung

ΔP = 934,15 − 1 023,23 = −€89,08

Antwort

ΔP = −€89,08

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 8,004 %

Gleichung für die Rendite

€920 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

P(8%) = €920,15, P(9%) = €883,31

YTM = 8,004%

Antwort

YTM = 8,004%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,466 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143

WACC

WACC = 0,2857·8% + 0,7143·6%·(1 − 0,258) = 5,466%

Antwort

WACC = 5,466%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,009 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€26,50 = €26 500 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,9·6% = 8,9%

Gewichte

V = €36 300 000, E/V = 0,73, D/V = 0,27

WACC

WACC = 0,73·8,9% + 0,27·7%·(1 − 0,2) = 8,009%

Antwort

WACC = 8,009%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 22222 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Wert der Zahlungen

PV = 11 000/(0,12 − 0,03) = 122 222,22

NPV

NPV = 122 222,22 − 100 000 = €22 222,22

Antwort

NPV = €22 222,22

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 15,77 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(15%) = 312,73

NPV(20%) = −1 597,22

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 15 + 5·312,73/(312,73 − (−1 597,22)) = 15,82%

exakt: NPV(15,77%) = 0 → IRR = 15,77%

Antwort

IRR = 15,77%

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