Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €3 000, 10 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 5 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €3 000i = 5%n = 10

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €8 000 wird über 3 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €8 0007,2% / 12N = 36

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 7 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% für €777 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 7P = €777YTM = 6%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 9 Jahren fällig und kostet €860. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 9P = €860

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €12 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 13%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 000 000 Aktien zu je €17,50 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3% und der Steuersatz 30%. Das Beta der Aktie ist 1,3, der risikofreie Zinssatz 4% und die Marktrendite 8,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,3r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €8 000, €10 000, €8 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 10 000CF₃ = 8 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €14 500, €23 500, €17 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 23 500CF₃ = 17 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 23165 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6139)/0,05 = 7,722

Barwert

PV = 3 000·7,722 = €23 165,20

Antwort

PV = €23 165,20

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 247,7 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·3 = 36

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,8063

A = 8 000·0,006/(1 − 0,8063) = €247,75

Antwort

A = €247,75

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 2,005 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,06)⁻⁷ = €665,06

Kupon

C = (777 − 665,06)/5,582 = €20,05

Kuponsatz

c = 20,05/1000 = 2,005%

Antwort

c = 2,005%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,967 %

Gleichung für die Rendite

€860 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84

YTM = 4,967%

Antwort

YTM = 4,967%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,85 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·13% + 0,2·3%·(1 − 0,258) = 10,85%

Antwort

WACC = 10,85%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,996 %

Marktwerte

E = 2 000 000·€17,50 = €35 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 1,3·4,5% = 9,85%

Gewichte

V = €55 400 000, E/V = 0,6318, D/V = 0,3682

WACC

WACC = 0,6318·9,85% + 0,3682·3%·(1 − 0,3) = 6,996%

Antwort

WACC = 6,996%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 1548 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 8 000/1,1 = 7 272,73

CF₂/(1 + 0,1)² = 10 000/1,21 = 8 264,46

CF₃/(1 + 0,1)³ = 8 000/1,331 = 6 010,52

Addieren

NPV = €1 547,71

Antwort

NPV = €1 547,71

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 17,26 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(15%) = 1 555,85

NPV(20%) = −1 759,26

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 15 + 5·1 555,85/(1 555,85 − (−1 759,26)) = 17,35%

exakt: NPV(17,26%) = 0 → IRR = 17,26%

Antwort

IRR = 17,26%

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