Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 2 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 3 Jahren.

PV = €5 0002% / 12n = 3

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €20 000 zu 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €325 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €20 000A = €3253,6% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 9 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%YTM = 5,5%n = 9

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 8 Jahren fällig und kostet €870. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 8P = €870

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 9%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 20%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 000 000 Aktien zu je €20,00 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 6% und der Steuersatz 25,8%. Das Beta der Aktie ist 0,9, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 7,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,9r_f = 2,5%r_m = 7,5%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €30 000. Sie erwirtschaftet 4 Jahre lang am Ende jedes Jahres €8 500 und kann danach für €7 500 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €30 000CF = €8 500S = €7 500n = 4r = 8%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet heute €100 000. Seine Zahlung beträgt €22 000 am Ende von Jahr 1 und wächst um 4 % pro Jahr bis zur letzten Zahlung am Ende von Jahr 5. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €22 000g = 4%n = 5r = 10%

NPV = €

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 5309 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·3 = 36

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,001667)³⁶ = 5 000·1,062 = €5 308,92

Antwort

FV = €5 308,92

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 69 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,003/325 = 0,8154

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,8154)/ln(1,003) = 68,13

Auf ganze Raten aufrunden

68 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 69

Antwort

N = 69 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 929,8 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, i = 0,0275, N = 18

Barwert der Kupons

€22,50·(1 − 0,6137)/0,0275 = €316,10

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,6137 = €613,66

Kurs

P = €929,76

Antwort

P = €929,76

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 10,48 %

Gleichung für die Rendite

€870 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Numerisch lösen

P(10%) = €893,30, P(11%) = €845,62

YTM = 10,48%

Antwort

YTM = 10,48%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·9% + 0,6·5%·(1 − 0,2) = 6%

Antwort

WACC = 6%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,704 %

Marktwerte

E = 2 000 000·€20,00 = €40 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,9·5% = 7%

Gewichte

V = €45 250 000, E/V = 0,884, D/V = 0,116

WACC

WACC = 0,884·7% + 0,116·6%·(1 − 0,258) = 6,704%

Antwort

WACC = 6,704%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 3666 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

8 500·3,312 = 28 153,08

Barwert des Restwerts

7 500/1,36 = 5 512,72

NPV

NPV = −30 000 + 28 153,08 + 5 512,72 = €3 665,80

Antwort

NPV = €3 665,80

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −10330 €

Barwert der wachsenden Rente

((1,04)/(1,1))⁵ = 0,7554

PV = 22 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,7554) = 89 669,90

NPV

NPV = 89 669,90 − 100 000 = −€10 330,10

Antwort

NPV = −€10 330,10

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

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