Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €15 000 in 4 Jahren. Ein Konto bringt 4 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €15 0004% / 4n = 4

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €200 000 wird über 20 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €200 0003% / 12N = 240

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 14 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3,5% für €1 382 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 14P = €1 382YTM = 3,5%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 7% wird in 8 Jahren fällig und kostet €915. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 8P = €915

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €3 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €6 000 000 und Eigenkapitalkosten von 12%. Sein Fremdkapital besteht aus 2 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 5%, 12 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €957 notieren. Der Steuersatz beträgt 21%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €6 000 000r_e = 12%Anleihen: 2 000 × €957Kuponsatz = 5%n = 12T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €6 000, €5 000, €10 000, €8 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 10 000CF₄ = 8 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €7 000, €11 000, €14 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 11 000CF₃ = 14 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 12792 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·4 = 16

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,173 = €12 792,32

Antwort

PV = €12 792,32

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 1109 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·20 = 240

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,5492

A = 200 000·0,0025/(1 − 0,5492) = €1 109,20

Antwort

A = €1 109,20

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 6,998 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,035)⁻¹⁴ = €617,78

Kupon

C = (1382 − 617,78)/10,92 = €69,98

Kuponsatz

c = 69,98/1000 = 6,998%

Antwort

c = 6,998%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 8,508 %

Gleichung für die Rendite

€915 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Numerisch lösen

P(8%) = €942,53, P(9%) = €889,30

YTM = 8,508%

Antwort

YTM = 8,508%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,975 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·5%·(1 − 0,21) = 8,975%

Antwort

WACC = 8,975%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,15 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

957 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 5,499%

Marktwerte

D = 2 000·€957 = €1 914 000

V = €7 914 000, E/V = 0,7582, D/V = 0,2418

WACC

WACC = 0,7582·12% + 0,2418·5,499%·(1 − 0,21) = 10,15%

Antwort

WACC = 10,15%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 5469 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 6 000/1,05 = 5 714,29

CF₂/(1 + 0,05)² = 5 000/1,103 = 4 535,15

CF₃/(1 + 0,05)³ = 10 000/1,158 = 8 638,38

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 8 000/1,216 = 6 581,62

Addieren

NPV = €5 469,43

Antwort

NPV = €5 469,43

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 24,42 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(20%) = 1 574,07

NPV(25%) = −192,00

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 20 + 5·1 574,07/(1 574,07 − (−192,00)) = 24,46%

exakt: NPV(24,42%) = 0 → IRR = 24,42%

Antwort

IRR = 24,42%

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