Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €8 000 zu einem Nominalzins von 6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 9 Jahren.

PV = €8 0006% / 4n = 9

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €15 000 zu 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €250 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €15 000A = €2503% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 9 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5,5% für €930 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 9P = €930YTM = 5,5%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 18 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 8%) wird für €1 217 verkauft. Der Emittent kann sie in 4 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 080 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%P = €1 217Kündigungskurs = €1 080Kündigung in 4 Jahre

YTC = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €4 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €500 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 11%, die Kosten der Vorzugsaktien 6% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 6%. Der Steuersatz beträgt 30%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 11%r_p = 6%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €12,00 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €960. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 30%. Das Beta der Aktie ist 0,9, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 6,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,9r_f = 1,5%r_m = 6,5%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €40 000 und bringt 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €14 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 14 000CF₄ = 14 000CF₅ = 14 000

DPB = Jahre

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €30 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €17 000, €12 000, €6 000. Projekt B kostet €35 000 und bringt €9 000, €14 500, €18 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −30 000, 17 000, 12 000, 6 000B: −35 000, 9 000, 14 500, 18 500

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 13673 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·9 = 36

Endwert

FV = 8 000·(1 + 0,015)³⁶ = 8 000·1,709 = €13 673,12

Antwort

FV = €13 673,12

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 66 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,0025/250 = 0,85

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,85)/ln(1,002) = 65,09

Auf ganze Raten aufrunden

65 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 66

Antwort

N = 66 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 4,493 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,055)⁻⁹ = €617,63

Kupon

C = (930 − 617,63)/6,952 = €44,93

Kuponsatz

c = 44,93/1000 = 4,493%

Antwort

c = 4,493%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 3,919 %

Gleichung für die Rendite

1217 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1080/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

y = 3%: €1 256,93

y = 4%: €1 213,58

YTC = 3,919%

Antwort

YTC = 3,919%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,996%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,506 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 4 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €8 500 000

E/V = 0,4706, P_s/V = 0,05882, D/V = 0,4706

WACC

WACC = 0,4706·11% + 0,05882·6% + 0,4706·6%·(1 − 0,3) = 7,506%

Antwort

WACC = 7,506%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,51 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€12,00 = €60 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,9·5% = 6%

Gewichte

V = €69 600 000, E/V = 0,8621, D/V = 0,1379

WACC

WACC = 0,8621·6% + 0,1379·3,5%·(1 − 0,3) = 5,51%

Antwort

WACC = 5,51%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: DPB = 3,163 Jahre

Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.

Abgezinste und kumulierte Zahlungen

Jahr 1: 14 000/1,05 = 13 333,33 → Σ = 13 333,33

Jahr 2: 14 000/1,103 = 12 698,41 → Σ = 26 031,75

Jahr 3: 14 000/1,158 = 12 093,73 → Σ = 38 125,47

Jahr 4: 14 000/1,216 = 11 517,83 → Σ = 49 643,31

Bruchteil des letzten Jahres

DPB = 3 + 1 874,53/11 517,83 = 3,163

Antwort

DPB = 3,163 Jahre

Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (2,857 Jahre).

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 6,655 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 9 000 − 17 000 = −8 000

ΔCF₂ = 14 500 − 12 000 = 2 500

ΔCF₃ = 18 500 − 6 000 = 12 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(6%) = 173,06

NPV_Δ(7%) = −89,32

r* = 6,655%

Antwort

r* = 6,655%

Probe: Bei 6,655% betragen beide Kapitalwerte €1 433,92.

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