Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €40 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 3,6 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €40 0003,6% / 4n = 3

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €200 000 wird über 25 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €200 0005,4% / 12N = 300

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 6 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 4% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 7%YTM = 4%n = 6

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% in zwei Halbjahresraten und wird in 7 Jahren fällig. Sie wird für €1 182 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7% (2×)n = 7P = €1 182

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Sein WACC beträgt 7,23%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €5 000 000D = €5 000 000WACC = 7,23%r_d = 6%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €38,00 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3% und der Steuersatz 25%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 3,5% und die Marktrendite 8%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 3,5%r_m = 8%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €13 000, €13 000, €14 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 000CF₃ = 14 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €11 000, €7 500, €4 500. Projekt B kostet €30 000 und bringt €7 500, €11 500, €15 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 11 000, 7 500, 4 500B: −30 000, 7 500, 11 500, 15 500

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 35922 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·3 = 12

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,114 = €35 922,45

Antwort

PV = €35 922,45

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 1216 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·25 = 300

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,26

A = 200 000·0,0045/(1 − 0,26) = €1 216,26

Antwort

A = €1 216,26

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1159 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €35,00, i = 0,02, N = 12

Barwert der Kupons

€35,00·(1 − 0,7885)/0,02 = €370,14

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7885 = €788,49

Kurs

P = €1 158,63

Antwort

P = €1 158,63

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 3,994 %

Pro Periode

C = €35,00, N = 14

Numerisch lösen

i = 1,997% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·1,997% = 3,994%

Antwort

YTM = 3,994%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 10,01 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

Fremdkapitalanteil am WACC

0,5·6%·(1 − 0,258) = 2,226%

Eigenkapitalkosten

r_e = (7,23% − 2,226%)/0,5 = 10,01%

Antwort

r_e = 10,01%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,106 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€38,00 = €38 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,8·4,5% = 7,1%

Gewichte

V = €47 800 000, E/V = 0,795, D/V = 0,205

WACC

WACC = 0,795·7,1% + 0,205·3%·(1 − 0,25) = 6,106%

Antwort

WACC = 6,106%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −11920 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 13 000/1,1 = 11 818,18

CF₂/(1 + 0,1)² = 13 000/1,21 = 10 743,80

CF₃/(1 + 0,1)³ = 14 000/1,331 = 10 518,41

Addieren

NPV = €−11 919,61

Antwort

NPV = €−11 919,61

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 4,351 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 7 500 − 11 000 = −3 500

ΔCF₂ = 11 500 − 7 500 = 4 000

ΔCF₃ = 15 500 − 4 500 = 11 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(4%) = 111,80

NPV_Δ(5%) = −203,00

r* = 4,351%

Antwort

r* = 4,351%

Probe: Bei 4,351% betragen beide Kapitalwerte €1 389,27.

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