Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €15 000 in 7 Jahren. Ein Konto bringt 4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €15 0004% / 12n = 7

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €200 000 wird über 20 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 5,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 6 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €200 0005,4% / 12N = 240k = 72

B = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 6 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 6%YTM = 7%n = 6

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 7 Jahren fällig und kostet €1 090. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 7P = €1 090

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €6 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 4 000 000 Aktien zu je €55,00 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4% und der Steuersatz 25,8%. Das Beta der Aktie ist 1,1, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 7,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 7,5%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €26 000, €17 000, €24 000, €22 000. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 26 000CF₂ = 17 000CF₃ = 24 000CF₄ = 22 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €25 000, €25 000, €21 500, €28 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 8 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 25 000CF₂ = 25 000CF₃ = 21 500CF₄ = 28 500

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 11342 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·7 = 84

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,323 = €11 342,04

Antwort

PV = €11 342,04

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 160606 €

Monatliche Rate

i = 0,0045, N = 240

A = 200 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰) = €1 364,50

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 240 − 72 = 168

B = 1365·(1 − (1 + 0,0045)⁻¹⁶⁸)/0,0045 = €160 605,72

Antwort

B = €160 605,72

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 951,7 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €30,00, i = 0,035, N = 12

Barwert der Kupons

€30,00·(1 − 0,6618)/0,035 = €289,90

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,6618 = €661,78

Kurs

P = €951,68

Antwort

P = €951,68

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,474 %

Gleichung für die Rendite

€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86

YTM = 4,474%

Antwort

YTM = 4,474%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,875 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 6,875%

Antwort

WACC = 6,875%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,573 %

Marktwerte

E = 4 000 000·€55,00 = €220 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·5% = 8%

Gewichte

V = €240 400 000, E/V = 0,9151, D/V = 0,08486

WACC

WACC = 0,9151·8% + 0,08486·4%·(1 − 0,258) = 7,573%

Antwort

WACC = 7,573%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 13871 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 26 000/1,08 = 24 074,07

CF₂/(1 + 0,08)² = 17 000/1,166 = 14 574,76

CF₃/(1 + 0,08)³ = 24 000/1,26 = 19 051,97

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 22 000/1,36 = 16 170,66

Addieren

NPV = €13 871,46

Antwort

NPV = €13 871,46

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 22,44 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

25 000·1,08³ = 31 492,80

25 000·1,08² = 29 160,00

21 500·1,08¹ = 23 220,00

28 500·1,08⁰ = 28 500,00

TV = 112 372,80

MIRR

MIRR = (112 372,80/50 000)^1/4 − 1 = 22,44%

Antwort

MIRR = 22,44%

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