Behandle die Brücke als zwei Spannungsteiler an derselben Versorgung.
Setze für den Abgleich R₁/R₂ = R₃/R₄ und löse nach dem unbekannten Widerstand auf.
Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke Va und Vb aus den Teilern und bilde die Differenz; verwende die Thevenin-Ersatzschaltung, wenn ein Messgerät den Ausgang belastet.
Rechne bei Dehnungsmessstreifen die Dehnung in ΔR/R = GF·ε um und verwende Vs·GF·ε/4, /2 oder ×1 für eine Viertel-, Halb- oder Vollbrücke.
Messdatenerfassung und Abtastung
Nyquist-Kriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Alias-Frequenz
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Schrittweite
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden)
±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r
2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate
Kanäle × fs × N bit/s
Gemultiplexter ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler
baud = fclk/(16·D)
Methode
Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit fs/2; eine höhere Frequenz erscheint bei fa = |f − k·fs| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von fs.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = VFSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.
Operationsverstärker
Invertierender Verstärker
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Nichtinvertierender Verstärker
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Summierverstärker
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealer Operationsverstärker
V+ = V−, Iin = 0
Reihen- und Parallelschaltung
Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R
Methode
Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
Thévenin und Norton
Thévenin-Spannung
Vth = Vopen circuit
Thévenin-Widerstand
Rth: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom
IN = Vth/Rth
Laststrom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale Leistungsübertragung
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist Vth.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist Rth.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: Vth in Reihe mit Rth.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: IN = Vth/Rth, mit RN = Rth parallel.
2Übungsaufgaben
1.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMittel
Eine Brücke hat vier Zweige mit je 470 Ω und Vs = 3 V. Der Sensor R₂ steigt um ΔR = 23,5 Ω. Bestimme die exakte Ausgangsspannung Vab in mV.
Vs = 3 VR = 470 ΩΔR = 23,5 Ω
Vab = mV
2.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenSchwer
Eine Viertelbrücke mit einem aktiven Streifen (GF = 2,1) wird mit 3 V gespeist. Unter Last zeigt der Ausgang 0,63 mV. Bestimme die Dehnung ε in µε.
Vs = 3 VGF = 2,1Vo = 0,63 mV
ε = µε
3.Messdatenerfassung und AbtastungMittel
Eine Sinuswelle mit 700 Hz wird ohne Anti-Aliasing-Filter mit 1 kHz abgetastet. Bei welcher Frequenz fa erscheint sie in den Abtastwerten? Gib sie in Hz an.
f = 700 Hzfs = 1 kHz
fa = Hz
4.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer
Eine Rechteckwelle mit 400 Hz wird ohne Anti-Aliasing-Filter mit 2 kHz abgetastet. Ein Rechtecksignal enthält die ungeraden Oberschwingungen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bei welcher Frequenz fa erscheint seine Oberschwingung 7f₁ in den abgetasteten Daten? Gib sie in Hz an.
f₁ = 400 Hzfs = 2 kHzOberschwingung: 7f₁
fa = Hz
5.OperationsverstärkerMittel
Wähle den Rückkopplungswiderstand Rf so, dass dieser nichtinvertierende Verstärker eine Spannungsverstärkung von 2 hat.
R1 = 10 kΩAv = 2
Rf = kΩ
6.OperationsverstärkerSchwer
Der Summierverstärker verwendet einen idealen Operationsverstärker mit ±15 V Versorgung. Bestimme den Strom If durch den Rückkopplungswiderstand, in Richtung des Ausgangs.
Bestimme die Thévenin-Spannung Vth an den Klemmen a–b.
V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
10.Thévenin und NortonSchwer
Bestimme den Norton-Strom IN: den Strom, der von a nach b fließt, wenn die Klemmen kurzgeschlossen sind.
V1 = 10 VIs = 6 AR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
3Lösungen
1.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: Vab = 36,59 mV
Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung Vs. Der linke Teiler R1–R2 liefert Va = Vs·R2/(R1 + R2) und der rechte Teiler R3–R4 liefert Vb = Vs·R4/(R3 + R4); die Ausgangsspannung ist Vab = Va − Vb. Die Brücke ist abgeglichen (Vab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R1/R2 = R3/R4 gilt, also R1·R4 = R2·R3. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Knotenspannungen
Va = 3·493,5/963,5 = 1,537 V
Vb = 1,5 V
Ausfuhr
Vab = 36,59 mV
Antwort
Vab = 36,59 mV
Die lineare Schätzung Vs·ΔR/(4R) = 37,5 mV ist um 2,5 % zu hoch: Eine Viertelbrücke ist nicht ganz linear.
2.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: ε = 400 µε
Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern Vs·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern Vs·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.
Löse die Gleichung der Viertelbrücke
ε = 4·0,00063/(3·2,1) = 0,0004
In Mikrodehnung
ε = 400 µε
Antwort
ε = 400 µε
3.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: fa = 300 Hz
Abtastung: Ein ADC misst das Signal fs-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < fs/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei fa = |f − k·fs|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und fs/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von fs/2 entfernen.
Nyquist-Frequenz
fs/2 = 500 Hz < f = 700 Hz
Nächstes Vielfaches der Abtastrate
k = round(700/1000) = 1
Alias-Frequenz
fa = |700 − 1·1000| = 300 Hz
Antwort
fa = 300 Hz
Die gestrichelte Kurve in der Abbildung ist der Alias: Sie verläuft genau durch dieselben Abtastwerte.
4.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: fa = 800 Hz
Abtastung: Ein ADC misst das Signal fs-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < fs/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei fa = |f − k·fs|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und fs/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von fs/2 entfernen.
Frequenz der Oberschwingung
7f₁ = 7·400 Hz = 2,8 kHz
Nächstes Vielfaches der Abtastrate
m = round(1,4) = 1
Alias-Frequenz
fa = |2800 − 1·2000| = 800 Hz
Antwort
fa = 800 Hz
Der Alias landet im Signalband, wo ihn kein digitales Filter entfernen kann. Nur ein analoges Filter vor dem ADC hilft.
5.Operationsverstärker
Antwort: Rf = 10 kΩ
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Verstärkung eines nichtinvertierenden Verstärkers
V₋ = V₊ = Vin, und der Strom durch R₁ fließt auch durch Rf, also Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (2 − 1)·10 = 10 kΩ
Antwort
Rf = 10 kΩ
6.Operationsverstärker
Antwort: If = 0,09545 mA
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Eingangsströme
V₋ = 0, daher liegt an jedem Eingangswiderstand seine volle Eingangsspannung.
I1 = V1/R1 = −0,1/22 = −0,004545 mA
I2 = V2/R2 = 1/10 = 0,1 mA
If = I1 + I2 = 0,09545 mA
Antwort
If = 0,09545 mA
7.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR2 = 0,8333 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 3 + 2 = 5 Ω
R2 ∥ 5 = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω
Req = R1 + 3,077 = 8 + 3,077 = 11,08 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 24/11,08 = 2,167 A
Strom durch R₂
Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,167·8 = 6,667 V
IR2 = VA/R2 = 6,667/8 = 0,8333 A
Antwort
IR2 = 0,8333 A
8.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR2 = 1,416 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 2 + 4 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 3 Ω
R3 + 3 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 1,867 Ω
Req = R1 + 1,867 = 10 + 1,867 = 11,87 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 18/11,87 = 1,517 A
Strom durch R₂
Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,517·10 = 2,831 V
IR2 = VA/R2 = 2,831/2 = 1,416 A
Antwort
IR2 = 1,416 A
9.Thévenin und Norton
Antwort: Vth = 5,053 V
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 12 = 15,16 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·4/(15+4) = 5,053 V
10.Thévenin und Norton
Antwort: IN = 6,217 A
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 30·10/(30+10) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 4 = 11,5 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,5 + 6·7,5 = 47,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 47,5 + 6·4 = 71,5 V
Norton-Ersatzschaltbild
Eine Norton-Quelle ist dieselbe Schaltung, gesehen als Stromquelle parallel zu R_th. Ihr Strom ist der Kurzschlussstrom an a–b.