Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 25 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 0,5 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 2 m, Aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 30 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 1,2 m von A und 2,5 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 200 N·m aufgebracht. Bestimme den Drehwinkel φ_C des Querschnitts C in Grad.

d = 30 mmT₀ = 200 N·ma = 1,2 mb = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

60 kN @ 8 m45 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt auf einem Teil seiner Spannweite eine Gleichstreckenlast. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 5 mw = 10 kN/m von 0 bis 3 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein Kreisrohr hat den Außendurchmesser D = 60 mm und den Innendurchmesser d = 40 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

D = 60 mmd = 40 mm

r = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 25 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 160 MPa, σᵧ = −30 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 40° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1 m vom Auflager B. Bestimme die Durchbiegung δ_mid in Feldmitte.

P = 12 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 100 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 100 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 141,5 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/100000 = 0,0001415 = 141,5 µε

Antwort

ε = 141,5 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 3,602 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19,89·500/200000 = 0,04974 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·2000/70000 = 3,553 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,602 mm

Antwort

δ = 3,602 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 14,37 °

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·38350) = 0,2507 rad

φ = 0,2507·180/π = 14,37°

Antwort

φ = 14,37°

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 2,996 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·2,5/3,7 = 135,1 N·m

T_B = 200·1,2/3,7 = 64,86 N·m

Drehwinkel von C

Verwende Abschnitt AC: Er ist in A eingespannt und überträgt T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 135135·1200/(39000·79522) = 0,05229 rad = 2,996°

Antwort

φ_C = 2,996°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 77,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 110, M_D = 165, M_E = 220 kN·m, M_F = 155, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 220 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 22,05 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, angreifend bei x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3·1,5

R_B = 45/5 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 9 = 21 kN

Querkraftnullstelle

Die Querkraft beginnt bei R_A, bleibt über unbelastete Abschnitte konstant und fällt innerhalb der Last mit der Steigung w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 21/10 = 2,1 m

Maximales Moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 21·2,1 − 10·2,1²/2 = 22,05 kN·m

Antwort

M_max = 22,05 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 18,03 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 1571 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 510509 mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(510509/1571) = 18,03 mm

Antwort

r = 18,03 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 79,44 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

Steg: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·207,5 + 3200·100)/5000 = 138,7 mm

Satz von Steiner

Flansch: 120·15³/12 + 1800·(207,5 − 138,7)² = 8,554 × 10⁶ mm⁴

Steg: 16·200³/12 + 3200·(100 − 138,7)² = 1,546 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,554 × 10⁶ + 1,546 × 10⁷ = 2,401 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 215 − 138,7 = 76,3 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·76,3/2,401 × 10⁷ = 79,44 MPa

Antwort

σ_oben = 79,44 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 31,72 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 50 − 40) = 63,43°

Winkel am Element

θ_p = 31,72°

Antwort

θ_p = 31,72°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = −90,08 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −95·0,9848 + 20·0,1736 = −90,08 MPa

Antwort

τ_θ = −90,08 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 50,51 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 50,51 mm

Antwort

δ_max = 50,51 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_mid = 6,516 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung in Feldmitte

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 12000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·3,99 × 10¹²) = 6,516 mm

Antwort

δ_mid = 6,516 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 128,5 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128,5 kN

Antwort

P_cr = 128,5 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 65,65 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 65,65 mm

Antwort

d = 65,65 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 182,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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